Diagnóstico de regressão: 12 exercícios resolvidos

O que o diagnóstico de regressão realmente identifica

Uma equação de regressão descreve uma relação condicional entre uma variável dependente e variáveis explicativas. Entretanto, problemas diferentes afetam partes diferentes da análise. A colinearidade diz respeito à informação nos preditores; a heteroscedasticidade, à variância dos erros; a autocorrelação, à dependência entre observações; e o erro de mensuração, à qualidade das variáveis registradas.

Viés, precisão e ajuste são questões diferentes

Sob a hipótese apropriada de média condicional zero, a heteroscedasticidade, isoladamente, não causa viés nos coeficientes de mínimos quadrados ordinários (MQO). Contudo, ela altera sua variância e compromete os erros-padrão homoscedásticos usuais. Da mesma forma, a correlação serial não implica automaticamente viés nos coeficientes sob exogeneidade estrita, embora frequentemente apareça junto de dinâmicas omitidas que geram viés.

Em contrapartida, o erro clássico de mensuração em uma variável explicativa geralmente cria endogeneidade. A multicolinearidade elevada introduz outro problema: os dados podem prever bem a variável dependente, mas oferecer pouca informação sobre as inclinações separadas. Por isso, nenhum diagnóstico isolado consegue validar o modelo inteiro.

Leia as unidades antes de interpretar os coeficientes

As tabelas de famílias e empresas usam milhares de dólares, enquanto as tabelas macroeconômicas históricas e de estoques usam bilhões de dólares. Ao longo deste artigo, os cálculos mantêm as unidades numéricas dessas tabelas. Assim, um intercepto de 21.637 no exemplo das empresas significa aproximadamente US$ 21.637, e não 21.637 milhares de dólares. Nas fórmulas, tabelas e no código, preservamos a notação numérica do original: ponto decimal e, quando presente, vírgula para separar milhares.

Além disso, a variável de taxa de juros usa pontos percentuais. Uma mudança de 5 para 6 representa um aumento de um ponto percentual; não se trata de um aumento proporcional de 1%. Explicitar essa distinção evita um erro comum de interpretação.

Diagnóstico de regressão para multicolinearidade: exercícios 1–3

Exercício 1: identifique uma dependência linear exata

Considere um modelo de consumo que inclui a renda disponível atual, a renda disponível do período anterior e a variação da renda disponível. O exercício 9.16 fornecido utiliza os três termos. Entretanto, a variação já equivale à renda atual menos a renda defasada.

Primeiro, substitua a segunda expressão na primeira. Em seguida, combine os coeficientes das duas variáveis de renda distintas.

Somente duas combinações dos três coeficientes de renda afetam o consumo ajustado. Portanto, infinitas trincas geram os mesmos valores ajustados. Para qualquer número a, substituir as três inclinações por β₁ − a, β₂ + a e β₃ + a mantém a previsão inalterada.

Solução: remova um regressor redundante ou adote uma restrição economicamente justificada. Por exemplo, estime a renda atual e a defasada sem o termo de variação. Padronizar os preditores não resolve essa identidade exata, e coletar mais observações com a mesma identidade também não resolve.

Exercício 2: explique um R² elevado com estatísticas t individuais fracas

O próximo exemplo usa dados hipotéticos de consumo C, renda disponível Y_d e patrimônio W de 15 famílias. Primeiro, estime o consumo em função dos dois preditores. O recálculo com a tabela visível produz a seguinte equação.

O modelo conjunto apresenta uma estatística t da renda de aproximadamente 1.943 e uma estatística t do patrimônio de −0.834. Em contraste, a estatística t no modelo com apenas renda é de aproximadamente 46.252. Acrescentar patrimônio, portanto, contribui muito pouco para o ajuste, mas reduz bastante a precisão da estimativa separada da renda.

Um coeficiente negativo do patrimônio não demonstra que o patrimônio reduz o consumo. Em vez disso, ele descreve a relação estimada mantendo a renda constante em uma amostra com quase nenhuma variação independente entre esses preditores. Essa comparação encontra pouco suporte nos dados.

A explicação da Penn State sobre os fatores de inflação da variância apresenta o diagnóstico relevante: regrida cada preditor contra os demais e calcule o VIF a partir desse R² auxiliar. Com exatamente dois preditores e um intercepto, o cálculo se reduz ao quadrado da correlação entre eles.

Para dimensionar o efeito, a raiz quadrada de 1,695.43 é aproximadamente 41.18. Pela fórmula usual da variância, esse é o fator de inflação do erro-padrão em relação a um desenho comparável com preditores ortogonais, mesma variância do erro e mesma variação dos preditores. Contudo, ele não equivale à razão efetiva entre os erros-padrão dos dois modelos ajustados, pois suas variâncias estimadas do erro também diferem.

Exercício 3: imponha uma restrição defensável aos coeficientes

Suponha que o raciocínio econômico sustente β₂ = 0.25β₁ na equação do consumo. Nesse caso, o modelo com dois preditores se reduz a um único preditor composto. Essa é a restrição do exercício 9.18 fornecido.

O uso das 15 observações produz a relação ajustada abaixo. Consequentemente, os coeficientes originais da renda e do patrimônio decorrem diretamente da restrição.

O modelo restrito preserva quase todo o poder explicativo do modelo irrestrito. Entretanto, a restrição fornece informações que a própria amostra não consegue oferecer de forma confiável. Uma restrição incorreta pode criar uma precisão enganosa; por isso, explique sua fundamentação antes de adotá-la.

Lição prática: combinar renda e patrimônio aqui muda a pergunta para o efeito de um índice específico de renda e patrimônio. Isso não revela dois efeitos econômicos identificados de forma independente. Portanto, apresente a restrição ao lado dos coeficientes, em vez de escondê-la em uma nota de rodapé.

Diagnóstico de regressão para heteroscedasticidade: exercícios 4–7

Exercício 4: calcule um teste de Goldfeld–Quandt

O primeiro conjunto de empresas contém 35 observações de formação de capital Y e vendas X. Cada um dos cinco níveis de vendas reúne sete empresas. Para investigar o aumento da variância dos erros, ordene as observações pelas vendas, mantenha as 14 primeiras e as 14 últimas e exclua as sete centrais.

Em seguida, ajuste uma regressão separada com intercepto e inclinação em cada grupo mantido. A equação da amostra completa e as equações dos dois subgrupos são:

Aqui, RSS significa soma dos quadrados dos resíduos. Alguns livros usam ESS para a soma dos quadrados dos erros, enquanto outros usam ESS para a soma dos quadrados explicada. Portanto, defina a abreviação antes de comparar resultados.

Sob as hipóteses clássicas de erros normais, observações independentes e modelo corretamente especificado, compare essa razão com uma distribuição F com 12 e 12 graus de liberdade. O valor crítico unilateral a 5% é aproximadamente 2.68664, e o valor-p é cerca de 0.000948. Assim, o teste rejeita a hipótese nula de igualdade das variâncias.

A documentação do teste de Goldfeld–Quandt no statsmodels descreve o teste com duas subamostras e suas opções de ordenação, divisão e direção da hipótese alternativa. Na prática, informe qual variável determina a ordenação e se a hipótese alternativa pressupõe variância crescente.

Além disso, as inclinações dos dois grupos diferem substancialmente. Esse padrão sugere verificar a função da média, além da variância dos erros. Um teste de variância não demonstra que uma única reta representa corretamente a relação.

Exercício 5: use mínimos quadrados ponderados quando a variância segue X²

Agora suponha Var(u_i | X_i) = σ²X_i² e X diferente de zero. Dividir toda a equação por X torna constante a variância do erro transformado sob essa hipótese. Assim, aplicar MQO à equação transformada equivale a mínimos quadrados ponderados com pesos 1/X².

Observe a posição dos coeficientes: o intercepto transformado é a inclinação original. Por outro lado, o coeficiente de 1/X é o intercepto original. O recálculo produz:

Por exemplo, o peso de uma empresa com vendas de 100 é nove vezes o peso de uma empresa com vendas de 300. Isso decorre de (300/100)² = 9. Entretanto, essa ponderação relativa só faz sentido se a relação de variância assumida for razoável.

O guia do NIST sobre mínimos quadrados ponderados explica por que a ponderação pelo inverso da variância pode melhorar a precisão e por que pesos incertos exigem cuidado. Portanto, examine os resíduos transformados e considere a sensibilidade a modelos alternativos de variância.

O R² transformado é aproximadamente 0.98177. No entanto, ele descreve a variação em Y/X, não em Y. Compará-lo diretamente com o R² original de 0.93616 misturaria variáveis dependentes e objetivos de ajuste diferentes.

Exercício 6: teste a variação da variância em uma regressão múltipla

O segundo conjunto de empresas acrescenta um índice de produtividade X₂ às vendas X₁. Primeiro, estime o modelo completo com 35 observações. Depois, ordene pela produtividade e forme grupos de 14 observações em cada extremidade, novamente excluindo sete observações.

Desta vez, 11 graus de liberdade está correto, pois cada modelo de subgrupo estima três parâmetros. Consequentemente, o teste clássico rejeita a igualdade das variâncias a 5%, mas não a 1%. O resultado é mais próximo do limite de rejeição do que no primeiro exemplo das empresas; portanto, evite tratar as duas evidências como igualmente fortes.

A regressão do grupo de menor produtividade apresenta uma inclinação negativa para a produtividade, enquanto a do grupo de maior produtividade apresenta uma inclinação positiva. Contudo, ambas as estimativas vêm de intervalos pequenos e restritos. Antes de atribuir significado econômico à diferença de sinal, examine a colinearidade, a forma funcional e a variação limitada dentro de cada grupo.

Exercício 7: transforme corretamente uma regressão múltipla

Suponha que a variância do erro seja proporcional a X₂². Em seguida, divida cada termo por X₂, inclusive o intercepto e o erro. A equação resultante contém uma constante, pois X₂/X₂ equivale a um.

O modelo transformado calculado independentemente é:

As mudanças nos coeficientes são modestas neste conjunto de dados. Entretanto, seu pequeno tamanho não prova que a correção da variância era desnecessária. Estimativas pontuais e medidas de incerteza respondem a perguntas diferentes.

Verificação da implementação: ajustar Y/X₂ somente em função de X₁/X₂ omite o intercepto original transformado. Da mesma forma, usar pesos 1/X₂ em vez de 1/X₂² aplica outra hipótese de variância. Ambos os erros podem produzir resultados plausíveis enquanto resolvem o problema errado.

Diagnóstico de regressão para autocorrelação: exercícios 8–10

Exercício 8: detecte persistência nos resíduos do modelo de investimento

O exemplo histórico contém 18 observações anuais de 1982 a 1999. O investimento Y e o PIB X₁ usam bilhões de dólares, enquanto X₂ registra uma taxa de juros de commercial paper. Esses valores reproduzem a tabela histórica fornecida; não representam um conjunto macroeconômico obtido em uma consulta recente.

Primeiro, regrida o investimento somente contra o PIB. O ajuste resultante parece forte, mas a dependência dos resíduos conta outra história.

A estatística de Durbin–Watson mede as mudanças ao quadrado entre resíduos sucessivos em relação à soma de seus quadrados. Segundo a definição do statsmodels, sua aproximação conhecida é d ≈ 2(1 − r), em que r resume a correlação dos resíduos com defasagem de um período. Portanto, um valor próximo de zero sinaliza forte persistência positiva.

A resposta fornecida classifica o resultado inicial como significativo tanto a 5% quanto a 1%, utilizando a abordagem clássica de limites. Entretanto, uma decisão formal exige os limites e as hipóteses apropriados, não uma regra universal de “d abaixo de dois”. Variáveis dependentes defasadas e transformações estimadas exigem atenção especial.

Em seguida, estime a equação auxiliar com investimento defasado e PIB atual e defasado. Isso reproduz de perto a estimativa fornecida para o parâmetro de persistência.

Sob um modelo de erros AR(1), defina Y*_t = Y_t − ρY_t−1 e X*_t = X_t − ρX_t−1. Depois, ajuste a regressão transformada. Para um cálculo transparente em uma etapa, utilize ρ = 0.88 e exclua a primeira observação.

Além disso, o intercepto transformado equivale a (1 − ρ)β₀ sob a especificação AR(1). Ele não é o intercepto original em nível. A regressão auxiliar irrestrita também não impõe todas as restrições dos coeficientes do modelo estrutural AR(1); portanto, trate seu coeficiente defasado como uma estimativa preliminar, não como validação completa do modelo.

Exercício 9: acrescente a taxa de juros e reavalie os resíduos

Acrescentar uma variável explicativa pode melhorar o R² sem corrigir a dependência dos resíduos. Aqui, a regressão com PIB e taxa de juros produz:

O coeficiente positivo da taxa de juros descreve uma associação condicional nesta pequena amostra histórica. Contudo, ele não demonstra que custos de financiamento maiores causam mais investimento. Tendências comuns, simultaneidade, expectativas omitidas e persistência dos resíduos complicam essa interpretação.

Uma regressão auxiliar com investimento defasado, PIB atual e defasado e taxas de juros atuais e defasadas produz ρ ≈ 0.939624. Utilizando o valor impresso arredondado de 0.94, o modelo transformado se torna:

Esse cálculo reproduz de perto os coeficientes transformados fornecidos. Entretanto, a estatística t da taxa de juros é aproximadamente −0.140, o que oferece pouca evidência de uma associação parcial diferente de zero nesse modelo. A dependência dos resíduos também continua sendo uma preocupação.

O exercício impresso informa rejeição a 5% e resultado inconclusivo a 1% em seu procedimento de limites. No trabalho aplicado, documente a convenção do teste e considere um teste adequado dos resíduos após a estimação. O procedimento de Breusch–Godfrey oferece uma abordagem por regressão auxiliar para testar correlação serial nas ordens de defasagem escolhidas, embora 17 observações transformadas deixem pouco espaço para uma estrutura rica de defasagens.

Exercício 10: estime um modelo em primeiras diferenças

Quando o parâmetro de persistência assumido equivale a um, a quase diferenciação se torna a primeira diferença usual. Portanto, defina cada variação como a observação atual menos a anterior. Os 18 níveis anuais produzem 17 variações anuais.

Por exemplo, a primeira variação do investimento equivale a 615.6 − 523.3 = 92.3 bilhões de dólares. A variação correspondente do PIB equivale a 3688.8 − 3315.6 = 373.2 bilhões de dólares. Enquanto isso, a mudança na taxa equivale a 8.87 − 11.84 = −2.97 pontos percentuais.

O coeficiente da variação do PIB é aproximadamente 0.4493. Assim, uma variação anual do PIB US$ 1 bilhão maior corresponde a uma variação do investimento cerca de US$ 0.449 bilhão maior, mantendo constante a mudança na taxa nessa equação ajustada. Essa afirmação descreve uma associação entre variações, não a relação original em níveis.

A resposta impressa informa que não rejeita a hipótese de ausência de autocorrelação nos níveis indicados. No entanto, não rejeitar não prova independência, especialmente em uma amostra tão pequena. Um valor de ρ próximo de um pode motivar a investigação de diferenças, mas não estabelece, por si só, uma raiz unitária nem descarta cointegração.

Antes de usar um modelo em diferenças para prever, examine as propriedades das séries temporais e a interpretação econômica. Se existir uma relação estável de longo prazo, um modelo de correção de erros poderá preservar informações que a diferenciação pura descarta. Por outro lado, diferenciar um processo já estacionário pode introduzir dependência de média móvel desnecessária.

Diagnóstico de regressão para erro de mensuração: exercícios 11–12

Exercício 11: compare medidas precisas e ruidosas de remessas

O exemplo de estoques contém 16 observações anuais de 1983 a 1998. Aqui, Y representa os estoques, X representa as remessas medidas com precisão no exercício e X′ representa uma medida hipotética das remessas com erro. As três séries usam bilhões de dólares.

Primeiro, ajuste os estoques em função de X. Em seguida, substitua X por X′ e compare os resultados.

A inclinação com a medida ruidosa é cerca de 20.88% menor que a inclinação de referência. Entretanto, seu R² é aproximadamente 0.04285 maior, ou 4.29 pontos percentuais. Esse conjunto de dados, portanto, oferece um contraexemplo concreto à ideia de que um R² maior confirma uma mensuração melhor.

Sob erro clássico de mensuração, escreva X′ = X + v, em que o erro de mensuração tem média zero e não se correlaciona com X nem com o erro estrutural. Em uma regressão simples, a inclinação em grandes amostras segue a relação de atenuação abaixo.

A fração fica entre zero e um quando as duas variâncias são positivas. Consequentemente, a inclinação se aproxima de zero sob essas hipóteses. O erro não clássico de mensuração pode produzir outras direções de viés, e uma única comparação observada de inclinações não verifica as hipóteses clássicas.

Além disso, o coeficiente de X medido com precisão é uma referência amostral de MQO, não uma verdade populacional conhecida. Portanto, “mais próximo da referência” e “consistente para o efeito causal” são afirmações diferentes. O capítulo sobre variáveis instrumentais de Introduction to Econometrics with R explica por que o erro de mensuração pode exigir uma estratégia de identificação que vai além de acrescentar regressores.

Continuação do exercício 11: diferencie um regressor defasado de um instrumento

A resposta fornecida utiliza X′ defasado e apresenta aproximadamente −77.82 + 0.88X′_t−1. Regredir os estoques atuais diretamente contra as remessas ruidosas defasadas reproduz essa resposta:

Entretanto, isso muda a variável explicativa. Um estimador de variáveis instrumentais (VI) exatamente identificado mantém X′ atual como regressor e utiliza X′ defasado como instrumento Z. Com um intercepto, a inclinação é uma razão de covariâncias.

As 15 observações alinhadas de 1984 a 1998 produzem uma equação estrutural diferente:

Assim, a inclinação de 0.8751 da regressão defasada não é a inclinação de 0.8279 por VI. O primeiro denominador utiliza a variância do instrumento; o segundo utiliza sua covariância com o regressor endógeno atual. Essa distinção continua essencial mesmo quando os números parecem semelhantes.

Para que a interpretação por VI funcione, o instrumento deve prever X′ atual e permanecer não correlacionado com o erro estrutural composto. Uma defasagem não satisfaz automaticamente esses requisitos. Erro de mensuração persistente, choques estruturais serialmente correlacionados e dinâmicas omitidas podem invalidá-la.

Portanto, o cálculo acima demonstra o procedimento, sem estabelecer uma estimativa causal válida. Uma aplicação defensável explicaria a relevância, a exclusão e a exogeneidade do instrumento antes de interpretar o coeficiente. Comparar todos os estimadores na mesma amostra também eliminaria a mudança da amostra como fator de confusão.

Exercício 12: inverta uma regressão reversa com cuidado

O último exercício fornecido regride X′ contra Y. O recálculo produz a seguinte relação:

Isolar Y algebricamente nessa reta ajustada produz um intercepto de −a/b e uma inclinação de 1/b. Portanto, o uso dos coeficientes sem arredondamento resulta em:

O intercepto impresso de aproximadamente −91.43 decorre da divisão dos valores arredondados 101.49 e 1.11. Consequentemente, essa divergência reflete principalmente o arredondamento prematuro. Preserve a precisão completa até a apresentação final para evitar esse problema.

Entretanto, a questão mais importante é a interpretação. Inverter a direção de uma regressão e tomar o inverso de sua inclinação geralmente não elimina o viés de erros nas variáveis quando a variável dependente original contém ruído estrutural. Para entender por quê, considere um modelo populacional centrado com X, u e v mutuamente não correlacionados.

A menos que Var(u) seja zero, o inverso da inclinação reversa geralmente difere de β. Para β positivo, o termo extra a eleva. Portanto, erro de mensuração somente em X não basta, por si só, para justificar a alegação de consistência da regressão inversa.

Um contexto especial de calibração, com uma relação subjacente exata e ruído somente em X, pode sustentar o método. Regressões econômicas usuais geralmente incluem variação adicional não explicada; por isso, essa condição mais forte precisa de justificativa. A identidade de amostra finita abaixo oferece outra verificação útil:

Essa identidade decorre diretamente das duas fórmulas de covariância para MQO simples com interceptos. Em outras palavras, a diferença entre a inclinação original e a invertida está matematicamente ligada ao ajuste imperfeito. Ela não prova, de forma independente, que algum dos estimadores resolveu o erro de mensuração.

Auditoria numérica das respostas fornecidas

A comparação a seguir separa os resultados reproduzidos das divergências e ressalvas. Todos os recálculos utilizam as observações visíveis, um intercepto quando especificado e precisão numérica completa antes do arredondamento. Portanto, os leitores podem relacionar cada diferença a um conjunto de dados ou a uma convenção de estimação explícita.

Por que as divergências importam além dos exercícios

Uma pequena diferença de arredondamento geralmente altera a apresentação, não a conclusão. Em contraste, substituir VI por uma regressão com variável defasada muda o parâmetro-alvo e as hipóteses. Distinguir esses casos impede que um gabarito numérico se torne, acidentalmente, um guia para o método errado.

Da mesma forma, corrigir um erro de graus de liberdade pode manter intacta uma rejeição forte. Contudo, esse mesmo erro poderia alterar um resultado próximo do limite em outro conjunto de dados. Portanto, reconstrua a contagem de parâmetros em vez de copiar um valor crítico de um exemplo próximo.

Um roteiro prático para um diagnóstico de regressão confiável

Comece pela pergunta e pelos dados

Primeiro, declare se o modelo pretende descrever associações, prever resultados ou estimar um efeito causal. Depois, verifique unidades, alinhamento temporal, valores ausentes e transformações. Um modelo pode funcionar bem em uma tarefa e falhar em outra.

Para dados econômicos históricos, registre também a versão de divulgação. A documentação do ALFRED, do Federal Reserve explica que os dados arquivados preservam divulgações originais e revisões posteriores. Consequentemente, substituir uma tabela antiga pelas observações atuais do FRED pode alterar uma reprodução, mesmo quando os nomes das variáveis parecem idênticos.

Examine o desenho e os resíduos

Em seguida, verifique identidades exatas, preditores duplicados e relações quase lineares. Faça gráficos dos resíduos em função dos valores ajustados e dos preditores relevantes. Para séries temporais, também os apresente em ordem cronológica; uma ordenação arbitrária das linhas não tem interpretação temporal significativa.

Use VIFs para investigar a precisão dos coeficientes, testes de variância para investigar mudanças na dispersão e testes de correlação serial para investigar dependência. Entretanto, cada teste tem hipóteses e poder limitado. Um resultado não significativo em uma amostra de 15 ou 18 observações exige linguagem cautelosa.

Escolha uma correção adequada ao problema

Estimativas de covariância robustas à heteroscedasticidade ajustam a incerteza estimada, mantendo os coeficientes de MQO inalterados. Estimativas de covariância HAC ampliam essa ideia para certas formas de dependência serial. A documentação de covariância robusta do statsmodels lista as opções HC0–HC3 e HAC, incluindo as escolhas necessárias para cálculos com séries temporais.

Em comparação, os mínimos quadrados ponderados (MQP) alteram as estimativas dos coeficientes por meio de pesos. Especificações dinâmicas alteram a média condicional, enquanto instrumentos tratam um problema específico de endogeneidade sob hipóteses adicionais. Portanto, nenhuma dessas ferramentas funciona como uma correção universal.

Apresente o modelo e suas limitações juntos

Por fim, informe o tamanho da amostra, as unidades das variáveis, a equação, o método de estimação, o estimador da incerteza e os resultados dos diagnósticos. Explique se os modelos transformados mantêm ou excluem a primeira observação. Ao usar pesos, declare a fórmula exata e sua fundamentação econômica ou de mensuração.

Um relatório útil poderia dizer: “Os resíduos originais apresentam forte persistência positiva; por isso, estimamos uma transformação AR(1) especificada e examinamos a dependência remanescente.” Essa frase explica a motivação e a verificação posterior. Por outro lado, “corrigimos a regressão” deixa os leitores sem saber qual procedimento realmente foi utilizado.

Tabelas completas para reprodução independente

As tabelas abaixo transcrevem as páginas dos exercícios fornecidos. Aqui, o exemplo das famílias utiliza explicitamente observações hipotéticas, e a série de remessas com ruído também é hipotética. Embora as tabelas históricas citem fontes estatísticas federais, este artigo utiliza a versão impressa, sem alegar uma extração recente dessas instituições.

Consumo, renda e patrimônio das famílias

Formação de capital por grupo de vendas

Cada valor na coluna de formação de capital representa uma empresa distinta. Portanto, as cinco linhas contêm 35 observações ao todo.

Formação de capital, vendas e produtividade

Investimento, PIB e taxa de commercial paper nos EUA

Estoques e remessas de bens duráveis nos EUA

Reproduza os principais diagnósticos de regressão em Python

O script compacto a seguir utiliza NumPy e SciPy para reproduzir algumas das verificações mais importantes. Ele inclui suas próprias matrizes de entrada, de modo que não é necessário baixar dados. Além disso, os cálculos mantêm precisão completa até a exibição dos resultados.

import numpy as np
from scipy.stats import f

def ols(y, x):
    y = np.asarray(y, dtype=float)
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    if x.ndim == 1:
        x = x[:, None]
    design = np.column_stack((np.ones(len(y)), x))
    b = np.linalg.lstsq(design, y, rcond=None)[0]
    e = y - design @ b
    rss = e @ e
    r2 = 1 - rss / ((y - y.mean()) @ (y - y.mean()))
    return b, e, rss, r2

# Colinearidade entre os dados familiares
income = np.array([36,12,16,18,17,14,20,23,15,18,50,19,37,22,19])
wealth = np.array([144,47,63,70,67,52,79,90,58,70,204,76,149,86,76])
corr = np.corrcoef(income, wealth)[0, 1]
print("Correlação, VIF:", corr, 1 / (1 - corr**2))

# Goldfeld–Quandt e MQP
sales = np.repeat([100.,150.,200.,250.,300.], 7)
capital = np.array([
    30.2,30.5,30.5,30.7,30.9,31.2,31.2,
    31.5,31.5,31.9,32.3,32.8,33.4,33.4,
    35.1,35.7,36.3,36.9,37.4,37.4,37.8,
    38.4,39.1,40.2,40.8,42.1,42.9,43.2,
    44.3,44.9,45.2,45.9,46.5,47.7,48.5])
low = ols(capital[:14], sales[:14])
high = ols(capital[-14:], sales[-14:])
f_stat = high[2] / low[2]
print("GQ F, p, valor crítico:", f_stat, f.sf(f_stat,12,12), f.ppf(.95,12,12))
print("Intercepto transformado, coeficiente de 1/X:",
      ols(capital/sales, 1/sales)[0])

# Regressão direta com defasagem versus VI efetivo
inventories = np.array([85.48,97.94,101.28,103.24,108.13,118.46,
    123.16,123.78,121.,128.49,135.89,149.13,160.59,167.01,179.89,189.67])
noisy = np.array([205.21,207.10,217.16,228.78,228.06,225.49,
    218.77,213.90,222.48,250.22,263.72,274.88,282.01,288.99,301.30,311.24])
outcome, current, instrument = inventories[1:], noisy[1:], noisy[:-1]
print("MQO direto com defasagem:", ols(outcome, instrument)[0])
zc = instrument - instrument.mean()
beta_iv = (zc @ (outcome-outcome.mean())) / (zc @ (current-current.mean()))
alpha_iv = outcome.mean() - beta_iv*current.mean()
print("Intercepto por VI e inclinação de X atual:", alpha_iv, beta_iv)
reverse_b = ols(noisy, inventories)[0]
print("Ajuste reverso invertido:", -reverse_b[0]/reverse_b[1], 1/reverse_b[1])

Para reproduzir as outras equações, insira as colunas correspondentes das tabelas e chame a mesma função de MQO. No cálculo AR(1), forme y[1:] − ρ × y[:-1] e aplique a mesma transformação a cada regressor não constante. Depois, inclua um intercepto na regressão transformada e registre a exclusão da primeira observação.

Perguntas frequentes sobre diagnóstico de regressão

Uma regressão com R² acima de 0.99 ainda pode ser pouco confiável?

Sim. O exemplo das famílias atinge R² = 0.99429, enquanto renda e patrimônio permanecem quase indistinguíveis estatisticamente. Portanto, um ajuste geral forte não estabelece efeitos individuais precisos, estimativas corretas da incerteza ou causalidade.

A multicolinearidade causa automaticamente viés em MQO?

Não. A colinearidade elevada, mas imperfeita, afeta principalmente a precisão sob as hipóteses usuais de exogeneidade. A colinearidade perfeita cria outro problema, pois os coeficientes irrestritos não têm uma solução única.

Devo sempre remover a variável com maior VIF?

Não. Remover um controle necessário pode introduzir viés por variável omitida ou mudar a pergunta da pesquisa. Em vez disso, avalie a finalidade da variável, as informações disponíveis nos dados e se o mais importante é prever ou interpretar coeficientes separadamente.

Erros-padrão robustos corrigem coeficientes ruins?

Não. Eles alteram a matriz de covariância estimada, não as estimativas pontuais de MQO. Consequentemente, não eliminam viés de mensuração, causalidade reversa ou uma média condicional mal especificada.

Durbin–Watson próximo de dois prova independência dos erros?

Não. A estatística se concentra em um aspecto específico da dependência serial. Além disso, amostras pequenas e hipóteses específicas do modelo limitam o que um valor próximo de dois pode demonstrar.

Por que MQP muda a posição do intercepto na equação transformada?

Dividir por X transforma o termo original da inclinação β₁X na constante β₁. Enquanto isso, o intercepto original se torna β₀/X. Acompanhar essas posições impede que uma regressão transformada correta receba uma interpretação econômica incorreta.

As primeiras diferenças sempre eliminam a autocorrelação?

Não. Elas podem reduzir a persistência em alguns contextos e introduzir dependência em outros. Portanto, reexamine os resíduos transformados e justifique a especificação da série temporal.

Uma variável defasada pode servir como instrumento?

Às vezes, mas somente com um argumento válido de identificação. A relevância isolada é insuficiente; a defasagem também deve satisfazer as condições necessárias de ortogonalidade e exclusão. Substituir diretamente o regressor atual por sua defasagem estima outra regressão.

Os valores históricos são estatísticas econômicas atuais?

Não. Eles reproduzem as tabelas históricas dos exercícios, incluindo o arredondamento original e a versão dos dados. Para uma análise atual, obtenha uma série apropriada e documente suas definições, frequência, unidades e data de divulgação.

Conclusão: diagnostique a hipótese antes de escolher a correção

O diagnóstico de regressão se torna útil quando conecta um sintoma visível a uma hipótese estatística específica. Esses 12 exercícios mostram por que um ajuste impressionante, coeficientes significativos e transformações conhecidas não substituem esse raciocínio. Em particular, a auditoria independente demonstra como pequenas verificações numéricas podem revelar diferenças conceituais muito maiores.

Comece pelos dados e pela pergunta de pesquisa. Em seguida, examine o desenho, estude os resíduos, escolha uma resposta justificada e informe a incerteza remanescente. Esse processo produz uma análise que os leitores podem reproduzir e avaliar, em vez de uma equação na qual precisam simplesmente confiar.

Fontes e metodologia

Fonte dos exercícios: fotografias fornecidas pelo usuário do Capítulo 9, “Problems in Regression Analysis” [Problemas de análise de regressão], exercícios complementares 9.16–9.27, incluindo as Tabelas 9.16–9.20 e as páginas impressas 223–227. As fotografias não estabelecem a identificação bibliográfica completa do livro; por isso, este artigo não inventa autor, edição ou data de publicação.

Método de cálculo: cálculos independentes de mínimos quadrados com as tabelas numéricas visíveis; as estatísticas t clássicas utilizam a variância residual estimada pela soma dos quadrados dos resíduos dividida pelos graus de liberdade residuais. Os valores-p dos testes F utilizam a hipótese alternativa unilateral declarada. Os gráficos apresentam os mesmos dados dos exercícios, e todas as comparações distinguem as respostas impressas da convenção explícita de recálculo.

Limites de interpretação: esses pequenos conjuntos didáticos ilustram métodos, sem estabelecer relações econômicas atuais. O artigo não afirma que um instrumento é válido apenas porque é possível calcular seu coeficiente. Da mesma forma, a proximidade numérica de uma referência não demonstra consistência nem identificação causal.

1. Penn State, STAT 462: Detecção de multicolinearidade com fatores de inflação da variância.
   https://online.stat.psu.edu/stat462/node/180/
2. NIST/SEMATECH e-Handbook: Regressão por mínimos quadrados ponderados.
   https://itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section1/pmd143.htm
3. statsmodels: Teste de Goldfeld–Quandt.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.het_goldfeldquandt.html
4. statsmodels: Estatística de Durbin–Watson.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.stattools.durbin_watson.html
5. statsmodels: Teste de Breusch–Godfrey.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.acorr_breusch_godfrey.html
6. Introduction to Econometrics with R: Regressão com variáveis instrumentais.
   https://www.econometrics-with-r.org/12-ivr.html
7. statsmodels: Resultados com covariância robusta.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.get_robustcov_results.html
8. Federal Reserve Bank of St. Louis: Documentação dos dados históricos do ALFRED.
   https://fred.stlouisfed.org/docs/api/fred/alfred.html