Modelos de equações simultâneas: ILS e 2SLS

O que são modelos de equações simultâneas?

Um modelo de equações simultâneas descreve várias relações que operam em conjunto. Uma variável endógena depende do próprio sistema, enquanto uma variável exógena entra de fora do modelo. Entretanto, essa classificação, por si só, não estabelece as hipóteses estatísticas necessárias à estimação.

Considere um mercado de tomates. Uma equação de demanda relaciona as compras ao preço e à renda das famílias. Enquanto isso, uma equação de oferta relaciona a produção ao preço e às condições de cultivo. O preço de mercado se ajusta até que compradores e vendedores concordem com uma quantidade.

Consequentemente, o preço observado reflete os dois lados do mercado. Um choque de demanda pode elevar simultaneamente o preço e a quantidade, mesmo quando cada família compra menos diante de um preço maior, mantendo os demais fatores constantes.

Essas distinções seguem a abordagem tradicional de equações simultâneas apresentada nas notas de aula de Shalabh, do IIT Kanpur. Ainda assim, o trabalho empírico precisa justificar a exogeneidade em seu contexto específico.

Por que um gráfico de dispersão não identifica automaticamente a demanda

Um conjunto de pontos de equilíbrio pode refletir deslocamentos da demanda, da oferta ou de ambas. Portanto, ajustar uma reta a esses pontos não traça automaticamente nenhuma das curvas estruturais. A questão central é o que provocou o movimento observado.

Quando apenas a demanda se desloca e a oferta permanece fixa, as observações de equilíbrio traçam a curva de oferta. Por outro lado, deslocamentos da oferta podem traçar uma curva de demanda estável. Um instrumento formaliza essa ideia ao isolar uma fonte de movimento que satisfaz as hipóteses da equação de interesse.

A simultaneidade é uma fonte de endogeneidade

Endogeneidade significa que um regressor se correlaciona com o erro da equação de interesse. A determinação simultânea pode criar esse problema, mas variáveis omitidas e erros de mensuração também podem provocá-lo. Assim, acrescentar uma segunda equação não necessariamente resolve todas as fontes de viés.

Da mesma forma, um modelo pode conter várias equações sem retroalimentação contemporânea. Sistemas recursivos apresentam uma ordenação unidirecional. Sob hipóteses adequadas de ortogonalidade dos erros, mínimos quadrados ordinários (MQO) aplicados equação por equação podem funcionar nesses sistemas.

Equações estruturais e formas reduzidas

As equações estruturais representam as relações comportamentais que você deseja compreender. Já as formas reduzidas expressam os resultados endógenos em função das variáveis exógenas do modelo e de erros compostos. Portanto, as duas formas respondem a perguntas diferentes.

Um sistema de demanda e oferta

Suponha a₁ < 0, b₁ > 0 e a₂ > 0. Além disso, considere que a renda seja ortogonal aos dois erros estruturais e apresente variação relevante. A exclusão da renda da oferta oferece uma possível fonte de identificação para a equação de oferta.

Iguale os lados direitos e agrupe os termos de preço. Desde que b₁ − a₁ ≠ 0, o sistema possui uma solução algébrica única para o preço:

Em seguida, a substituição na oferta fornece a forma reduzida da quantidade:

Para simplificar a notação, escreva Q = π_Q0 + π_QYY + v_Q e P = π_P0 + π_PYY + v_P. Observe que os erros das formas reduzidas combinam os choques originais. Como a renda permanece ortogonal a essas combinações sob nossas hipóteses, MQO pode estimar consistentemente os coeficientes das formas reduzidas.

Por que os efeitos estruturais e de forma reduzida diferem

O coeficiente estrutural a₂ mede o efeito da renda sobre a demanda com o preço fixo. Em contrapartida, π_QY mede a resposta da quantidade de equilíbrio após o ajuste do preço. Confundir esses efeitos pode levar a uma interpretação equivocada de política econômica.

Por exemplo, um aumento da renda pode elevar as compras desejadas pelos consumidores e também o preço. A alta do preço compensa parte da expansão inicial da demanda. Consequentemente, a variação final da quantidade pode ser menor que o deslocamento da demanda a preço constante.

Uma versão matricial compacta

Aqui, y contém os resultados endógenos e x contém as variáveis exógenas. Uma matriz B invertível fornece uma forma reduzida única. Entretanto, a invertibilidade, sozinha, não identifica todos os coeficientes estruturais: diferentes sistemas estruturais ainda podem gerar as mesmas relações de forma reduzida.

Para uma abordagem didática complementar sobre retroalimentação e formas reduzidas, consulte o capítulo sobre sistemas de equações do livro de econometria hospedado pela SUNY.

Identificação: os dados permitem recuperar a equação?

A identificação verifica se as restrições do modelo e as relações populacionais determinam de maneira única os parâmetros de interesse. A estimação vem depois. Portanto, uma amostra grande não resolve uma equação que o modelo deixa sem identificação.

A condição de ordem

Seja m o número de regressores endógenos no lado direito da equação de interesse. Por sua vez, L representa o número de instrumentos excluídos, considerando os controles exógenos incluídos. Na estrutura usual de exclusões lineares, essa contagem fornece uma primeira regra de avaliação:

Contar instrumentos não demonstra sua utilidade. Por exemplo, dois instrumentos que movimentam duas variáveis endógenas exatamente na mesma proporção oferecem apenas uma direção independente de variação.

A condição de posto

Após retirar o efeito dos controles exógenos incluídos, considere que Z̃ contenha os instrumentos excluídos e D̃ contenha os regressores endógenos. A matriz populacional relevante de momentos cruzados deve ter posto completo nas colunas:

Essa expressão resume a variação independente dos instrumentos necessária em uma equação linear de variáveis instrumentais (VI). Em um sistema simultâneo completo, a condição estrutural de posto expressa o mesmo problema de identificação por meio de restrições nas demais equações. As notas do IIT Kanpur desenvolvem essa abordagem sistêmica.

Relevância e validade são exigências diferentes

Um instrumento relevante prevê o regressor endógeno após considerar os controles. Além disso, um instrumento válido satisfaz as hipóteses de exclusão e ortogonalidade da equação de interesse. Assim, um excelente preditor ainda pode ser um instrumento inválido.

Suponha que o clima afete a oferta agrícola. Ele pode ajudar a identificar a demanda se alterar o preço de mercado sem modificar independentemente a demanda dos compradores. Entretanto, o clima também pode alterar a demanda por certos alimentos, o comportamento de compra ou a renda local. Um argumento empírico útil precisa considerar esses caminhos alternativos.

Da mesma forma, a renda pode ajudar a identificar a oferta somente se houver uma justificativa convincente para excluir seu efeito direto da equação de oferta. As condições de financiamento dos produtores, os custos salariais locais ou mudanças na qualidade dos produtos podem comprometer essa restrição. Portanto, o raciocínio econômico importa tanto quanto a álgebra.

Variáveis defasadas não se tornam instrumentos válidos automaticamente

Uma defasagem antecede a observação atual, mas a ordem temporal, sozinha, não prova ortogonalidade. Erros serialmente correlacionados podem conectar o resultado endógeno de ontem à perturbação de hoje. Consequentemente, instrumentos defasados exigem hipóteses sobre o processo dinâmico.

Uma tendência também merece análise cuidadosa. Ela pode captar mudanças tecnológicas omitidas, preferências, inflação ou outros movimentos graduais. Excluir uma tendência de uma equação e incluí-la em outra impõe uma restrição econômica, em vez de representar uma simples escolha de apresentação.

Como ILS e 2SLS estimam modelos de equações simultâneas

Mínimos quadrados indiretos

O método de mínimos quadrados indiretos, ou ILS na sigla em inglês, recupera coeficientes estruturais por meio da transformação dos coeficientes estimados das formas reduzidas. Ele se aplica naturalmente quando a equação de interesse é exatamente identificada. Na equação simples de oferta acima, a razão entre os efeitos da renda recupera a inclinação em relação ao preço:

Intuitivamente, a renda desloca a demanda e movimenta o equilíbrio ao longo da oferta. Dividir a resposta da quantidade pela resposta do preço mede essa inclinação da oferta. Entretanto, um denominador próximo de zero torna a razão instável.

O uso de ILS não impossibilita o cálculo de erros-padrão. O método delta ou um bootstrap adequado pode estimar a incerteza da transformação dos coeficientes. Ainda assim, essas abordagens exigem cuidado, principalmente quando a estimação do denominador é pouco precisa.

Mínimos quadrados em dois estágios

O método de mínimos quadrados em dois estágios, ou 2SLS na sigla em inglês, utiliza a variação dos regressores endógenos associada aos instrumentos. Primeiro, projete cada regressor endógeno sobre o conjunto completo de instrumentos. Em seguida, faça a regressão da variável dependente sobre os regressores endógenos ajustados e os controles exógenos incluídos.

Neste exemplo de demanda, Y é um controle exógeno incluído e C é um deslocador da oferta excluído. Ambos entram no primeiro estágio, juntamente com a constante. A exclusão se aplica à equação estrutural de demanda, não à equação de previsão do primeiro estágio.

Para realizar a inferência, utilize um estimador de VI. Uma regressão comum por MQO sobre os valores ajustados gerados geralmente informa erros-padrão incorretos. As perguntas frequentes oficiais do Stata sobre 2SLS explicam essa distinção e o papel das variáveis exógenas incluídas.

A fórmula matricial

Aqui, X contém todos os regressores estruturais, incluindo regressores endógenos e controles exógenos. Por sua vez, Z contém os regressores exógenos incluídos e os instrumentos excluídos. As inversas exigem que as matrizes amostrais relevantes tenham posto completo.

Sob identificação exata, ILS e VI/2SLS fornecem as mesmas estimativas dos coeficientes quando utilizam os mesmos dados, restrições e especificação. Em uma equação sobreidentificada, 2SLS combina as informações de vários instrumentos. As razões calculadas separadamente para cada instrumento geralmente diferem em uma amostra finita.

Comparação entre MQO, ILS e 2SLS

O manual oficial do ivregress documenta 2SLS, LIML, GMM e os estimadores de variância disponíveis. A escolha do estimador deve seguir o desenho da pesquisa e suas hipóteses, em vez de privilegiar a especificação que produz o sinal desejado.

Instrumentos fracos e confiança enganosa

Um instrumento pode satisfazer a condição de relevância populacional e ainda fornecer pouca informação em uma amostra finita. Como resultado, os intervalos de confiança e testes convencionais de VI podem apresentar desempenho ruim. Um R² global elevado no primeiro estágio não resolve esse problema se os controles incluídos explicarem a maior parte do ajuste.

Concentre-se na contribuição condicional dos instrumentos excluídos. Apresente diagnósticos adequados do primeiro estágio e, quando necessário, inferência robusta a instrumentos fracos. A conhecida regra F > 10 é uma convenção aproximada de avaliação, não uma garantia universal.

A pesquisa de Stock e Yogo sobre instrumentos fracos relaciona valores críticos a critérios específicos de viés e tamanho dos testes. Além disso, uma pesquisa do Federal Reserve Bank of New York aborda testes robustos com vários regressores endógenos. A escolha do diagnóstico deve corresponder às hipóteses de covariância e ao número de variáveis endógenas.

20 exercícios resolvidos sobre modelos de equações simultâneas

Os exercícios a seguir utilizam números construídos originalmente, salvo quando mencionam explicitamente o material histórico fornecido. São cálculos didáticos, não estimativas de um mercado atual. Cada resposta explica tanto o significado econômico quanto a aritmética.

Exercício 1: classifique as variáveis

Pergunta: Quais variáveis são endógenas e qual variável fornece uma exclusão?

Solução: O sistema determina Q e P conjuntamente, portanto ambas são endógenas. A renda Y é a variável que supomos exógena, e a equação de oferta a exclui. Assim, a renda pode potencialmente identificar a oferta, enquanto esse sistema não oferece uma variável exógena excluída para a demanda.

Exercício 2: encontre o equilíbrio para uma renda determinada

Pergunta: Considere ambos os choques iguais a zero e Y = 20. Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio.

Interpretação: Ao preço de 22, os dois lados implicam uma quantidade de 86. A substituição na demanda fornece 120 − 44 + 10 = 86, verificando a solução de forma independente.

Exercício 3: derive as duas formas reduzidas

Pergunta: Resolva o mesmo modelo para valores arbitrários da renda e dos choques.

Solução: A diferença entre as inclinações é 3 − (−2) = 5. Portanto, o coeficiente da renda na equação de preço é 0.5/5 = 0.1. A substituição na oferta fornece os demais coeficientes.

Exercício 4: recupere a oferta por ILS

Pergunta: Utilize os coeficientes da renda e os interceptos das formas reduzidas do Exercício 3 para recuperar a oferta.

Resposta: Q = 20 + 3P + u_s. Assim, as formas reduzidas recuperam exatamente a equação original de oferta neste exemplo populacional.

Exercício 5: compare os efeitos estruturais e de equilíbrio da renda

Pergunta: Como um aumento de 10 unidades na renda afeta a quantidade?

Solução: Com o preço fixo, a demanda aumenta em 0.5 × 10 = 5 unidades. Entretanto, o preço de equilíbrio sobe 0.1 × 10 = 1, reduzindo as compras desejadas em 2 unidades. O aumento final da quantidade é 5 − 2 = 3 unidades, igual a 0.3 × 10.

Exercício 6: mostre por que o preço se correlaciona com os erros

Pergunta: Suponha que Y, u_d e u_s sejam mutuamente não correlacionados. Quais são as covariâncias entre o preço e os erros?

Solução: Observe os coeficientes dos choques na forma reduzida do preço. A menos que o choque correspondente tenha variância zero, o preço se correlaciona com o erro daquela equação. Consequentemente, a ortogonalidade usual de MQO não se verifica nas duas equações estruturais.

Exercício 7: calcule a direção do viés de MQO na oferta

Pergunta: Considere Var(Y) = 100, Var(u_d) = 25 e Var(u_s) = 25, com covariâncias nulas entre os pares. De qual inclinação o estimador de oferta por MQO se aproxima?

Interpretação: Mesmo com uma amostra arbitrariamente grande, o estimador converge para aproximadamente 1.33, em vez de 3, sob essas hipóteses. Portanto, mais observações reduzem o ruído amostral sem eliminar o viés de simultaneidade.

Exercício 8: aplique a condição de ordem

Pergunta: Classifique cada equação do Exercício 1 utilizando os instrumentos excluídos.

Solução: A oferta contém um regressor endógeno, P, e exclui uma variável exógena, Y. Sua contagem permite identificação exata, e o coeficiente não nulo do primeiro estágio estabelece a condição de posto neste caso. Em contrapartida, a demanda contém P, mas não exclui nenhuma variável exógena, permanecendo subidentificada sob essas restrições.

Exercício 9: acrescente um deslocador da oferta para identificar a demanda

Pergunta: Se o custo C for exógeno e a demanda o excluir, recupere a inclinação da demanda em relação ao preço.

Interpretação: Um custo maior eleva o preço de equilíbrio e reduz a quantidade. Como o custo desloca somente a oferta, a razão traça a demanda, e não a oferta.

Exercício 10: recupere os demais coeficientes da demanda

Pergunta: Utilize o Exercício 9 para recuperar o coeficiente da renda e o intercepto.

Resposta: A equação recuperada corresponde à especificação original da demanda. Além disso, o cálculo separa o efeito direto da renda do ajuste do preço.

Exercício 11: construa o primeiro estágio de 2SLS

Pergunta: Estime a demanda do Exercício 9 usando o conjunto de instrumentos {1, Y, C}. Quais variáveis entram no primeiro estágio para P?

Solução: Faça a regressão de P sobre uma constante, Y e C. Em seguida, utilize P ajustado, Y e uma constante para calcular os coeficientes do segundo estágio. Embora C seja o instrumento excluído, omitir Y da projeção do primeiro estágio geralmente altera o estimador.

Por exemplo, os coeficientes de primeiro estágio 20, 0.1 e 0.8 preveem P̂ = 26 quando Y = 20 e C = 5. Consequentemente, a previsão da demanda é 120 − 2(26) + 0.5(20) = 78.

Exercício 12: obtenha uma inclinação de VI a partir de momentos

Pergunta: Após retirar o efeito dos controles incluídos, suponha Cov(Z,Q) = −12 e Cov(Z,P) = 6. Encontre a inclinação de VI exatamente identificada.

Interpretação: A razão utiliza a variação associada ao instrumento. Entretanto, a aritmética, sozinha, não estabelece que Z satisfaz a restrição de exclusão.

Exercício 13: satisfaça a condição de ordem, mas não a de posto

Pergunta: Dois regressores endógenos têm dois instrumentos excluídos. Sua matriz condicional de coeficientes do primeiro estágio é a seguinte:

Solução: A contagem fornece L = m = 2, mas a matriz tem posto 1. Ambos os instrumentos movimentam as variáveis endógenas na mesma proporção. Portanto, a equação permanece subidentificada apesar de satisfazer a contagem da condição de ordem.

Exercício 14: calcule uma estatística F convencional do primeiro estágio

Pergunta: Um primeiro estágio homocedástico utiliza n = 100 observações, dois instrumentos excluídos e quatro coeficientes, incluindo o intercepto. As somas dos quadrados dos resíduos dos modelos restrito e irrestrito são 150 e 120.

Interpretação: Os instrumentos excluídos melhoram conjuntamente o ajuste do primeiro estágio. Ainda assim, F = 12 não certifica a validade dos instrumentos nem garante inferência convencional confiável. Utilize uma avaliação de instrumentos fracos adequada ao modelo e à estrutura dos erros.

Exercício 15: veja por que o R² global pode enganar

Pergunta: Os controles incluídos, sozinhos, produzem R² = 0.900, enquanto acrescentar um instrumento o eleva para 0.901. Qual é o R² parcial do instrumento?

Solução: O instrumento explica apenas 1% da variação que resta após os controles. Assim, um R² global do primeiro estágio superior a 90% pode coexistir com pouca informação incremental do instrumento. O tamanho da amostra também importa para a força estatística, portanto o R² parcial, sozinho, não constitui um diagnóstico completo.

Exercício 16: conte as restrições de sobreidentificação

Pergunta: Uma equação contém um regressor endógeno e três instrumentos excluídos. Quantas restrições de sobreidentificação entram no teste convencional?

Solução: Sob posto completo e as hipóteses de regularidade pertinentes, o teste possui dois graus de liberdade. Entretanto, a não rejeição não prova que todos os instrumentos sejam válidos. Os instrumentos podem compartilhar violações semelhantes, e os testes podem apresentar baixo poder.

Exercício 17: converta uma inclinação em elasticidade

Pergunta: Para P = 22 e Q = 86, converta a inclinação de demanda −2 e a inclinação de oferta 3 em elasticidades pontuais.

Interpretação: Uma variação de 1% no preço corresponde localmente a uma redução de aproximadamente 0.512% na quantidade demandada ou a um aumento de 0.767% na quantidade ofertada, mantendo constantes os respectivos deslocadores. Diferentemente de um coeficiente log-log, uma inclinação em nível-nível não é, por si só, uma elasticidade.

Exercício 18: diagnostique um sistema recursivo

Pergunta: A segunda equação exige automaticamente VI?

Solução: Não. Se X for ortogonal a u₂ e Cov(u₁,u₂) = 0, então y₁ pode ser ortogonal a u₂. Ainda assim, perturbações correlacionadas tornariam y₁ endógena na segunda equação, mesmo sem retroalimentação.

Exercício 19: recupere um coeficiente macroeconômico

Pergunta: Suponha que o efeito de forma reduzida do investimento I sobre M seja 0.6, enquanto seu efeito sobre Y seja 3. Encontre a₁.

Interpretação: O investimento oferece variação excluída para a equação de M sob as restrições assumidas. Em contrapartida, a equação de Y não possui uma variável exógena excluída neste sistema mínimo, portanto o mesmo argumento não permite recuperar todos os seus coeficientes estruturais.

Exercício 20: quantifique a contaminação do instrumento

Pergunta: Após retirar o efeito dos controles, suponha que a verdadeira inclinação estrutural seja −2, Cov(Z,P) = 4 e Cov(Z,u) = 0.8. De qual valor a razão de VI se aproxima?

Interpretação: VI permanece inconsistente porque o instrumento viola a ortogonalidade. Além disso, uma covariância menor no primeiro estágio ampliaria a mesma contaminação. A força e a validade dos instrumentos, portanto, interagem, embora continuem sendo exigências distintas.

Um exemplo agrícola histórico: o que os números impressos revelam

O capítulo fornecido inclui um exemplo agrícola dos Estados Unidos referente a 1975–1996. Sua tabela apresenta um índice de produção agrícola, um índice de preços agrícolas e a renda disponível per capita em dólares de 1996. A nota de fonte impressa menciona o Economic Report of the President, 2000.

Esses números históricos ilustram o funcionamento da estimação. Eles não descrevem o mercado agrícola atual, e este guia não afirma ter reconstruído independentemente a base oficial original. A discussão a seguir audita as equações arredondadas visíveis nas páginas fornecidas.

Recuperação da inclinação de oferta impressa

Em comparação, a inclinação da oferta estimada diretamente por MQO no texto é 0.5145. Consequentemente, a inclinação de ILS obtida dos coeficientes arredondados exibidos é aproximadamente 2.92 vezes maior. Essa diferença ilustra a sensibilidade dos estimadores às hipóteses de identificação; ela não prova que a estimativa de VI esteja correta.

Por que o arredondamento para quatro casas decimais importa

Coeficientes pequenos na apresentação podem ocultar uma incerteza economicamente relevante na razão. Se o arredondamento usual produziu 0.0039 e 0.0026, os números subjacentes poderiam estar aproximadamente nos intervalos abaixo:

Esse é um intervalo de arredondamento, não um intervalo de confiança. Ainda assim, ele mostra por que a razão entre coeficientes impressos pode não coincidir com uma estimativa de software que conserva a precisão completa. Mantenha os coeficientes sem arredondamento até a última etapa de apresentação.

Uma inconsistência no comprimento da tendência

O exercício de demanda fotografado descreve valores de tendência até 30, embora a tabela agrícola abranja 22 anos. Para uma tendência indexada a essa amostra, a sequência natural é T = 1,…,22. Essa divergência deve motivar uma verificação dos dados antes da replicação.

Alterar o ponto inicial de uma tendência desloca o intercepto, enquanto mudar sua escala altera o coeficiente correspondente. Entretanto, nenhuma dessas convenções cria oito observações anuais adicionais. Sempre alinhe a tendência às linhas efetivamente utilizadas na estimação.

Verificação do rótulo de uma variável estrutural

O modelo de demanda inclui a renda Y, enquanto a equação de oferta inclui a tendência T. Portanto, a recuperação da demanda a partir das formas reduzidas deve manter Y na equação estrutural de demanda. A expressão final de demanda impressa parece associar seu pequeno coeficiente a T.

Utilize a álgebra para resolver a ambiguidade. Em Q = a₀ + a₁P + a₂Y + u, os coeficientes da tendência excluída identificam a₁. Em seguida, a diferença entre os coeficientes da renda identifica a₂.

Os coeficientes exibidos fornecem uma inclinação em relação ao preço próxima de 0.5619 e um coeficiente de renda próximo de 0.0025. Assim, esse segundo coeficiente pertence a Y sob a especificação declarada. Essa verificação impede que um erro de notação altere o modelo econômico.

Por que a inclinação positiva da demanda merece investigação

A restrição teórica de demanda do capítulo exige um coeficiente de preço negativo, mas sua estimativa ilustrativa por VI é positiva. Classificar um estimador como consistente sob determinadas hipóteses não torna toda realização amostral economicamente convincente. Em vez disso, o sinal exige examinar a incerteza amostral, a força dos instrumentos, as exclusões, as tendências e a especificação do modelo.

A estatística t impressa para a tendência no primeiro estágio é aproximadamente 1.95. Com um instrumento excluído e inferência homocedástica convencional, a estatística F correspondente à exclusão é aproximadamente 1.95² = 3.80. Assim, o exemplo também levanta uma preocupação com instrumentos fracos.

Esse cálculo não estabelece que o instrumento seja inválido. Ele mostra, porém, que o modelo apresentado oferece informação estatística limitada sobre a inclinação da demanda. Uma análise moderna deve apresentar a incerteza e considerar métodos de inferência que continuem confiáveis com instrumentos fracos.

Um procedimento prático para a pesquisa aplicada

Comece pelo mecanismo econômico

Escreva as equações comportamentais antes de procurar instrumentos. Especifique quais variáveis o sistema determina e quais restrições identificam cada equação de interesse. Em seguida, explique como o instrumento proposto movimenta o regressor endógeno.

Para cada instrumento excluído, descreva uma violação plausível. Um instrumento de custo de transporte também pode afetar a disponibilidade ou a qualidade do produto. Da mesma forma, um instrumento climático local pode influenciar diretamente a demanda dos consumidores. Considerar esses mecanismos produz um desenho de pesquisa mais sólido do que simplesmente apresentar um primeiro estágio significativo.

Verifique unidades, amostras e períodos

Confira se cada variável utiliza dólares, milhares de dólares, pontos de índice ou logaritmos. Confirme que o primeiro estágio e a equação estrutural utilizam as mesmas observações. Caso contrário, valores ausentes podem provocar uma mudança de amostra não intencional.

Nos exemplos de séries temporais, examine tendências, quebras, correlação serial e estacionariedade. Séries macroeconômicas anuais frequentemente se movimentam juntas ao longo do tempo. Consequentemente, um R² elevado pode refletir movimentos compartilhados sem estabelecer uma relação estrutural convincente.

Utilize um comando de VI na estimação final

O modelo de código Stata abaixo estima a demanda utilizando um deslocador de custos. Substitua os nomes das variáveis pelas colunas correspondentes de sua base. Aqui, quantity representa Q, price é o preço endógeno P, income é a renda exógena Y e cost é o custo excluído C.

* Demanda: a quantidade depende do preço e da renda
* O custo instrumenta o preço; a renda também entra no conjunto de instrumentos
ivregress 2sls quantity income (price = cost), vce(robust) first

* Examine os diagnósticos do primeiro estágio
estat firststage

* Exemplo sobreidentificado com um segundo instrumento justificável
ivregress 2sls quantity income (price = cost weather), vce(robust)
estat overid

Inclua weather somente se a exclusão da equação de demanda for defensável. Acrescentar instrumentos apenas para obter um teste de sobreidentificação pode enfraquecer o desenho da pesquisa. Além disso, erros-padrão robustos tratam a heterocedasticidade, não a invalidade dos instrumentos.

Para observações dependentes, escolha um estimador de variância que reflita o processo amostral. Dados de mercado agrupados podem exigir erros-padrão por conglomerados, enquanto séries temporais podem exigir inferência que considere autocorrelação. O manual do ivregress explica as opções disponíveis.

Entenda o que os testes de sobreidentificação podem estabelecer

Os testes de sobreidentificação examinam se as restrições adicionais de momentos entram em conflito com o modelo ajustado. Uma rejeição sinaliza um problema em algum ponto das hipóteses conjuntas. Ela não identifica de maneira única qual instrumento causou o problema.

Por outro lado, a não rejeição não é um certificado de exogeneidade. Poder limitado e violações compartilhadas podem ocultar uma especificação inadequada. Portanto, combine a evidência estatística com conhecimento institucional e análise de sensibilidade.

Um exemplo real de pesquisa além da oferta e demanda

Variáveis instrumentais também aparecem em pesquisas sobre escolaridade e rendimentos. O estudo de Angrist e Krueger sobre frequência escolar obrigatória utiliza o trimestre de nascimento para explorar a interação entre regras de ingresso na escola e exigências de frequência obrigatória. O texto para discussão apareceu em 1990, seguido pelo artigo acadêmico em 1991.

Essa aplicação ilustra a necessidade de um mecanismo institucional, em vez de um preditor arbitrário. Entretanto, um instrumento que sustenta um desenho específico de pesquisa educacional não funciona automaticamente para outra população, período ou resultado. O argumento de identificação precisa acompanhar a estimativa.

Erros comuns e interpretações melhores

Por que o R² de VI pode ser negativo

MQO minimiza a soma dos quadrados dos resíduos estruturais em relação aos regressores de sua equação. Já VI utiliza condições de momentos dos instrumentos, portanto não precisa minimizar essa mesma soma. Consequentemente, o conhecido R² centrado pode ficar abaixo de zero.

Um R² negativo em VI não prova, por si só, que o cálculo falhou. Da mesma forma, um R² elevado em VI não estabelece identificação correta. A explicação do Stata sobre R² negativo ou ausente em VI apresenta a álgebra correspondente.

Por que os erros-padrão precisam dos resíduos estruturais

Após calcular os coeficientes de VI, forme os resíduos utilizando os regressores estruturais efetivos: û = y − Xβ̂. Não substitua X pela matriz ajustada do primeiro estágio ao construir esses resíduos estruturais. A diferença importa para a estimação da variância.

Por sua vez, a regressão com valores ajustados produz o mesmo vetor de coeficientes de 2SLS na estrutura usual. Entretanto, seu cálculo padrão de variância por MQO responde a uma pergunta estatística diferente. Essa distinção explica por que reproduzir manualmente as estimativas pontuais não conclui uma análise de VI.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre uma variável endógena e um regressor endógeno?

Uma variável endógena é um resultado determinado dentro do sistema. Já um regressor endógeno aparece no lado direito de uma equação específica e se correlaciona com a perturbação dessa equação. Assim, a classificação dentro do sistema e o problema de estimação específico da equação estão intimamente relacionados, mas merecem atenção separada.

MQO pode estimar uma forma reduzida?

Sim, desde que as variáveis exógenas incluídas satisfaçam as hipóteses pertinentes de ortogonalidade e regularidade. Os erros das formas reduzidas combinam choques estruturais, portanto essas hipóteses também precisam valer para a combinação. Ajustar a inferência da forma reduzida à heterocedasticidade ou à dependência diz respeito à inferência, e não à identificação.

2SLS estima o sistema inteiro de uma vez?

O 2SLS convencional estima uma equação estrutural utilizando um conjunto de instrumentos. Você pode aplicá-lo separadamente a várias equações identificadas. Estimadores de sistemas podem explorar informações adicionais entre equações, mas também dependem de hipóteses adicionais.

2SLS é sempre melhor que MQO?

Não. Se MQO for consistente e eficiente sob as hipóteses pertinentes, VI pode sacrificar precisão desnecessariamente. Em contrapartida, VI válido pode tratar a endogeneidade que torna MQO inconsistente. Instrumentos fracos ou inválidos podem tornar uma análise de VI pouco confiável.

Uma equação exatamente identificada pode utilizar um teste de sobreidentificação?

Nenhum teste convencional de sobreidentificação está disponível quando não existem instrumentos excedentes. Nesse caso, o número de restrições de sobreidentificação é zero. Ainda assim, você pode examinar as informações do primeiro estágio, o argumento econômico de exclusão e a sensibilidade à especificação.

Um instrumento estatisticamente não significativo prova ausência de identificação?

Não. Identificação populacional e precisão amostral são conceitos diferentes. Entretanto, uma relação amostral fraca pode indicar que a inferência convencional de VI não é confiável, mesmo quando o coeficiente populacional é diferente de zero.

Como apresentar a incerteza associada a instrumentos fracos?

Considere conjuntos de confiança e testes desenvolvidos para continuar válidos sob identificação fraca, juntamente com a estimativa pontual e os diagnósticos do primeiro estágio. As abordagens de Anderson–Rubin e da razão de verossimilhança condicional são exemplos importantes sob suas respectivas hipóteses. Consulte a documentação do Stata sobre inferência com instrumentos fracos para uma visão geral da implementação.

Os coeficientes históricos deste guia são estimativas atuais?

Não. Os valores agrícolas vêm do exemplo didático histórico das páginas fornecidas. Já os demais exercícios numéricos utilizam modelos explicitamente construídos. Nenhum desses conjuntos deve servir como previsão agrícola atual ou estimativa para política econômica.

Conclusão: identifique a variação antes de estimar o efeito

Modelos de equações simultâneas transformam uma percepção econômica importante em um problema de estimação: os resultados podem influenciar uns aos outros. Consequentemente, a associação observada entre preço e quantidade pode combinar várias relações comportamentais.

Comece distinguindo os efeitos estruturais das respostas de forma reduzida. Em seguida, justifique as exclusões, verifique as condições de ordem e posto e avalie a força dos instrumentos. Por fim, estime a equação com inferência de VI adequada e interprete o resultado em seu contexto econômico.

O hábito mais útil é perguntar qual fonte de variação identifica o coeficiente. Uma fórmula correta, um R² elevado ou uma estimativa significativa não substitui essa resposta.

Fontes e metodologia

Este guia apresenta explicações, derivações e exercícios construídos originalmente a partir dos temas das páginas 228–241 do capítulo fornecido. Os coeficientes históricos aparecem apenas na seção de auditoria identificada. As fontes primárias ou acadêmicas a seguir sustentam as referências metodológicas ao longo do artigo.

1. Shalabh, IIT Kanpur. Simultaneous Equations Models. Notas de aula sobre sistemas estruturais e identificação.
2. Econometrics, hospedado pela SUNY. Chapter 15: Systems of Equations. Discussão didática sobre retroalimentação e formas reduzidas.
3. Stata. Manual de referência do ivregress. Documentação oficial dos estimadores e da sintaxe.
4. Stata. Perguntas frequentes sobre regressão por mínimos quadrados em dois estágios. Especificação do primeiro estágio e erros-padrão.
5. Stock, J. H., e Yogo, M. Testing for Weak Instruments in Linear IV Regression. NBER Technical Working Paper 284, 2002; publicação posterior como capítulo em 2005.
6. Federal Reserve Bank of New York. A Robust Test for Weak Instruments with Multiple Endogenous Regressors. Staff Report 1020.
7. Stata. Inferência robusta a instrumentos fracos. Visão geral oficial da implementação.
8. Stata. R² negativo e ausente em 2SLS/VI. Interpretação da qualidade do ajuste em VI.
9. Angrist, J. D., e Krueger, A. B. Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings? NBER Working Paper 3572, 1990.
10. Fotografias fornecidas pelo usuário. Capítulo 10, Simultaneous-Equations Methods, páginas 228–241. Fonte da auditoria do exemplo didático histórico; os detalhes bibliográficos da edição não foram fornecidos.

Nota de cálculo: os 20 exercícios utilizam álgebra e hipóteses explicitamente declaradas. As razões entre inclinações históricas, comparações percentuais, limites de arredondamento e a verificação F ≈ t² são cálculos a partir dos valores exibidos, não estatísticas oficiais recém-consultadas. O documento utiliza fórmulas em HTML nativo e gráficos vetoriais incorporados, sem depender de JavaScript externo ou MathJax.