Métodos de series temporales: ARMA y cointegración

Los métodos de series temporales ayudan a explicar cómo evoluciona una variable, pronosticar su próximo valor y distinguir las relaciones relevantes de las tendencias engañosas. Sin embargo, elegir un modelo exige más que encontrar un R-cuadrado elevado. También necesitas comprender la persistencia, la estacionariedad, los choques y la información disponible en cada momento.

Por ejemplo, un aumento inesperado de las ventas puede desaparecer en un mes, persistir durante años o cambiar permanentemente la trayectoria de una empresa. Cada posibilidad implica un modelo estadístico diferente. En consecuencia, la misma técnica de regresión puede aportar evidencia útil en un contexto y crear una ilusión convincente en otro.

Esta guía desarrolla los temas de las páginas proporcionadas: procesos autorregresivos y de medias móviles, ACF y PACF, criterios de información, raíces unitarias, cointegración, corrección de errores y causalidad de Granger. Además, presenta cálculos originales, supuestos explícitos y comprobaciones prácticas que conectan estas ideas. Los ejemplos resueltos utilizan datos didácticos, salvo cuando el pie de una tabla identifica observaciones históricas.

Los métodos de series temporales comienzan con el orden de las observaciones

Una serie temporal registra una variable en orden cronológico. Las ventas mensuales, la producción trimestral y los tipos de cambio diarios encajan en esta descripción. A diferencia de una muestra sin orden, una serie temporal transmite información mediante su secuencia: el ayer puede ayudar a explicar el hoy.

Antes de estimar cualquier modelo, define el intervalo entre observaciones y la unidad de medida. Por ejemplo, «100» puede significar 100 dólares, un índice de precios de 100 o una cantidad transformada mediante logaritmos con otra interpretación. Asimismo, un rezago equivale a un día en datos diarios y a un trimestre en datos trimestrales.

Los símbolos utilizados en esta guía

El ruido blanco tiene media cero, varianza finita constante y autocovarianza nula en los rezagos distintos de cero. Sin embargo, estas propiedades no implican por sí solas independencia ni una distribución normal. En los cálculos elementales siguientes, las innovaciones cumplen estas condiciones; cuando un cálculo necesita supuestos más fuertes, estos se indican explícitamente.

En un modelo de pronóstico, una innovación también debe representar información que las observaciones pasadas no pueden predecir. Por tanto, los patrones sin explicar en los residuos estimados merecen atención. Una serie de residuos puede tener una media cercana a cero y conservar una estructura predictiva útil.

Tres preguntas que evitan un análisis equivocado

Primero, decide si buscas un pronóstico, una explicación económica o una estimación causal. Después, identifica si el modelo se refiere a niveles, cambios o variaciones porcentuales. Por último, pregunta si la relación debería mantenerse durante toda la muestra o solamente dentro de un régimen concreto.

Un pronóstico de la demanda del próximo mes quizá solo necesite un desempeño predictivo fiable. En cambio, afirmar cómo una política modifica la demanda exige una estrategia de identificación creíble. El orden temporal ayuda a organizar ambas tareas, pero no las hace equivalentes.

Modelos AR, MA y ARMA: cómo se propagan los choques en el tiempo

Los modelos autorregresivos utilizan valores pasados

Un modelo autorregresivo explica la observación actual mediante valores anteriores de la misma variable. En su forma más sencilla, un proceso AR(1) utiliza un rezago. Centrar el modelo alrededor de su media facilita especialmente la interpretación de la persistencia.

De forma equivalente, escribe Y_t = c + φY_t−1 + ε_t, donde c = (1 − φ)μ. Para el AR(1) causal estacionario habitual, |φ| < 1. Como resultado, las desviaciones respecto a la media desaparecen gradualmente en lugar de acumularse indefinidamente.

Ejemplo resuelto 1: calcula la media y la varianza de un AR(1)

Supón que Y_t = 2 + 0.8Y_t−1 + ε_t, con una varianza de las innovaciones igual a 4. Tomar esperanzas bajo estacionariedad da μ = 2 + 0.8μ. Por tanto, la media incondicional es 10.

El intercepto es 2, pero la media es 10. Esta diferencia importa porque el modelo transmite repetidamente las contribuciones anteriores a observaciones posteriores. Además, la desviación estándar de la serie es aproximadamente 3.333, superior a la desviación estándar de las innovaciones, que es 2.

La fórmula de la varianza se deduce directamente de la independencia entre la innovación actual y el nivel pasado. En concreto, V = φ²V + σ²; al despejar V, obtenemos la expresión anterior. Una inicialización estacionaria conserva esa varianza en todas las fechas.

Ejemplo resuelto 2: pronostica uno, dos y tres períodos hacia adelante

Continúa con el mismo modelo y considera que la última observación es 15. Como las innovaciones futuras tienen media condicional cero, el pronóstico se aproxima a 10. Cada paso adicional conserva el 80% de la desviación restante.

Estos pronósticos describen medias condicionales, no resultados futuros garantizados. Nuevos choques pueden alejar las observaciones reales de la trayectoria prevista. Aun así, la reversión a la media del modelo resulta clara incluso antes de estimar un conjunto de datos reales.

Ejemplo resuelto 3: calcula la vida media de un choque

Para 0 < φ < 1, un choque de una unidad deja φ^h unidades después de h períodos. Iguala esta expresión a 0.5 y despeja h. En consecuencia, la persistencia puede expresarse como una medida de tiempo comprensible para el lector.

Un coeficiente de 0.99 todavía satisface la condición de estacionariedad del AR(1). Sin embargo, su comportamiento en una muestra corta puede parecerse al de un paseo aleatorio. Esto explica por qué la inspección visual, por sí sola, puede tener dificultades para distinguir una estacionariedad muy persistente de una raíz unitaria.

Los modelos de medias móviles utilizan choques pasados

Un proceso de medias móviles combina innovaciones actuales y pasadas. El término no significa una media deslizante de los precios o las ventas observados. En cambio, describe cómo las perturbaciones inesperadas entran en el resultado.

Un proceso MA finito con entradas de ruido blanco es estacionario en covarianza cuando sus coeficientes son finitos. La invertibilidad impone una restricción adicional; en este MA(1), |θ| < 1 proporciona la representación invertible habitual. Por tanto, estacionariedad e invertibilidad responden a preguntas distintas.

La invertibilidad permite recuperar las innovaciones mediante una representación estable basada en observaciones pasadas. Sin una normalización como la invertibilidad, diferentes valores de los parámetros pueden describir el mismo patrón de autocorrelación. En la práctica, comprueba la convención de parámetros del programa antes de comparar estimaciones.

Ejemplo resuelto 4: traduce la convención de signos de MA

El capítulo fotografiado escribe su término MA con signo negativo: Y_t = ε_t − θ_libroε_t−1. Este artículo utiliza un signo positivo. Por tanto, θ_aquí = −θ_libro.

Así, el coeficiente de −0.8 del capítulo corresponde a +0.8 en la representación con signo positivo. Ambas expresiones generan exactamente la misma serie. Comparar los números sin sus ecuaciones sugeriría, de manera incorrecta, dinámicas opuestas.

Los modelos ARMA combinan ambos canales

Un modelo ARMA(p, q) combina p rezagos autorregresivos y q rezagos de medias móviles. En una representación centrada, su forma general es:

En modelos AR de orden superior, comprobar cada coeficiente por separado es insuficiente. La estacionariedad depende, en cambio, de las raíces de 1 − φ₁z − … − φ_pz^p: con esta convención, deben situarse fuera del círculo unitario. Del mismo modo, la invertibilidad depende de las raíces del polinomio de medias móviles.

Para un tratamiento más amplio del pronóstico, consulta a Hyndman y Athanasopoulos sobre los modelos ARIMA no estacionales. La diferencia entre ARMA y ARIMA es que ARIMA también permite aplicar diferencias antes de ajustar la dinámica estacionaria.

Ejemplo resuelto 5: aplica choques idénticos a tres procesos

Para comparar los procesos, comienza con las diez innovaciones de la primera tabla proporcionada. A continuación, reutilizamos esas entradas y recalculamos tres series con valores iniciales de cero. Esta comparación controlada aísla el mecanismo de propagación del modelo porque todos los procesos reciben el mismo choque nuevo.

Aunque AR y MA coinciden en la segunda observación, después divergen. Por ejemplo, AR utiliza el nivel generado anteriormente, mientras que MA utiliza la innovación anterior. El proceso ARMA incorpora ambos términos, por lo que su trayectoria inicial difiere todavía más.

Como la ilustración parte de valores fijos de cero, no inicializa el proceso AR en su distribución estacionaria. Por tanto, la varianza al comienzo de la muestra puede diferir de su varianza de largo plazo, aunque los coeficientes describan un modelo estable. La inicialización es otra razón por la que las simulaciones cortas pueden parecer inusuales.

Ejemplo resuelto 6: deriva la representación MA infinita

Comienza con la ecuación AR(1) centrada y sustituye repetidamente el valor rezagado. Después de m sustituciones, el resultado contiene innovaciones anteriores y un término restante de valor inicial. Como |φ| < 1, ese último término desaparece en el límite estable.

Con φ = 0.8, los primeros cinco pesos son 1, 0.8, 0.64, 0.512 y 0.4096. Así, un modelo AR puede recordar un choque durante infinitos períodos, pero asignándole cada vez menos peso. «Memoria infinita» no significa un efecto de magnitud constante.

Ejemplo resuelto 7: deriva la representación AR infinita

Ahora comienza con Y_t = ε_t + θε_t−1. Despeja recursivamente la innovación pasada y sustitúyela en la ecuación. Bajo invertibilidad, los coeficientes disminuyen y producen una representación autorregresiva infinita.

Para θ = 0.5, los coeficientes comienzan con 0.5, −0.25, 0.125 y −0.0625. Sin embargo, el efecto directo del choque en el MA(1) original sigue terminando después de un rezago. La representación infinita describe una forma equivalente de utilizar la historia observada, no un nuevo mecanismo físico de propagación.

Identifica modelos de series temporales con ACF, PACF y diagnósticos

La autocorrelación mide la dependencia a través de un rezago

En el rezago k, la función de autocorrelación, o ACF, compara observaciones separadas por k períodos. Para una serie estacionaria en covarianza, el denominador es la varianza común. Por tanto, el resultado mide la dependencia y no la escala de las observaciones.

Un estimador muestral habitual utiliza la media de toda la muestra tanto en el numerador como en el denominador. Sin embargo, los programas pueden ofrecer normalizaciones alternativas para muestras finitas. Especifica el estimador al reproducir una tabla numérica pequeña, porque diferencias menores pueden reflejar convenciones en lugar de un error aritmético.

La referencia del NIST sobre autocorrelación explica este cálculo muestral. Su énfasis en observaciones igualmente espaciadas importa: «rezago uno» pierde un significado uniforme cuando los intervalos representan distintas duraciones.

Ejemplo resuelto 8: compara autocorrelaciones teóricas

Para un AR(1), multiplica la ecuación por Y_t−k y toma esperanzas para obtener la recurrencia γ_k = φγ_k−1. En consecuencia, ρ_k = φ^k. Por otro lado, un MA(1) comparte una innovación entre observaciones consecutivas, pero ninguna entre observaciones separadas por más de un rezago.

Observa que el coeficiente MA es 0.8, pero su autocorrelación de primer rezago es aproximadamente 0.4878. Estas dos cantidades miden cosas distintas. Además, θ y 1/θ producen el mismo valor de θ/(1 + θ²), lo que ayuda a explicar la utilidad de una convención de invertibilidad.

La PACF elimina la contribución lineal de los rezagos intermedios

La autocorrelación parcial en el rezago k aísla la relación lineal entre Y_t e Y_t−k después de considerar los rezagos intermedios. Para un AR(1), la PACF poblacional es cero después del primer rezago. Un AR(p) presenta su corte correspondiente después del rezago p.

Estos patrones orientan una búsqueda inicial, pero no establecen una especificación definitiva. En particular, las muestras cortas y los modelos mixtos pueden ocultar las formas descritas en los manuales. La guía del NIST sobre identificación de Box–Jenkins destaca esta diferencia entre patrones teóricos y evidencia muestral.

Ejemplo resuelto 9: interpreta una banda aproximada de ACF

Bajo una aproximación sencilla de ruido blanco, una autocorrelación muestral individual tiene una banda aproximada del 95% de ±1.96/√T. Para 100 observaciones, ese intervalo es aproximadamente ±0.196. Con 400 observaciones, se reduce a ±0.098.

Supón que una autocorrelación muestral es 0.15. Queda dentro de la primera banda, pero fuera de la segunda. Por tanto, la misma magnitud estimada puede producir evidencia estadística distinta cuando cambia el tamaño de la muestra.

Estas bandas son referencias puntuales, no una garantía simultánea para todos los rezagos mostrados. Examinar 30 rezagos crea más oportunidades de encontrar un pico aislado elevado. En consecuencia, un diagnóstico conjunto ofrece evidencia complementaria útil.

Ejemplo resuelto 10: calcula los estadísticos de Box–Pierce y Ljung–Box

Considera 100 observaciones y cuatro autocorrelaciones muestrales: 0.30, 0.20, 0.10 y 0.05. El estadístico de Box–Pierce suma sus cuadrados y multiplica el resultado por el tamaño muestral. Ljung–Box añade a cada término un ajuste para muestras finitas.

En una prueba de ruido blanco aplicada directamente a la serie, con cuatro rezagos y sin términos ARMA estimados, la distribución de referencia aproximada tiene cuatro grados de libertad. Su valor crítico al 5% es 9.4877. Ambos estadísticos superan ese umbral; sus valores p aproximados son 0.0065 y 0.0052, respectivamente.

Los diagnósticos de residuos requieren atención a la estimación de parámetros. Para un ARMA(p, q) no estacional ajustado, una corrección habitual utiliza m − p − q grados de libertad, siempre que ese número sea positivo. La documentación de Ljung–Box de statsmodels describe este ajuste mediante su argumento model_df.

Un rechazo indica que persiste autocorrelación en los rezagos analizados. Sin embargo, un valor p elevado no demuestra independencia, normalidad ni una especificación correcta en todos los aspectos. Todavía debes examinar valores atípicos, cambios de varianza y desempeño de los pronósticos.

Ejemplo resuelto 11: compara el AIC en una muestra idéntica

Para comparar regresiones gaussianas con la misma variable dependiente y muestra, una expresión conveniente por observación es ln(RSS/T) + 2k/T, salvo constantes comunes. Aquí, RSS significa suma de cuadrados de los residuos y k cuenta los coeficientes de regresión, incluido el intercepto. Una penalización común por el parámetro de varianza no cambia la clasificación cuando todos los candidatos la utilizan de forma consistente.

El candidato B gana aunque C tiene el RSS más pequeño. Su ajuste ligeramente peor permite un modelo más sencillo, lo que mejora la puntuación penalizada. Mientras tanto, A pierde porque su ahorro de parámetros no compensa el mayor error residual.

Para estimar ARMA por verosimilitud, utiliza el criterio de información completo basado en la verosimilitud del programa y documenta cómo cuenta los parámetros. No compares fórmulas residuales arbitrarias de distintos métodos de estimación. Asimismo, cambiar el orden de diferenciación puede alterar los datos efectivos y la verosimilitud, por lo que una clasificación ingenua del AIC entre órdenes distintos puede engañar.

AICc añade una corrección para muestras pequeñas, mientras que BIC utiliza una penalización de complejidad diferente. Ninguno de los dos criterios establece causalidad económica. En cambio, utiliza una lista breve de candidatos plausibles y permite que los diagnósticos de residuos y el desempeño con datos futuros pongan a prueba la clasificación.

Estacionariedad, paseos aleatorios y pruebas de raíz unitaria

La estacionariedad describe un proceso, no una línea aparentemente plana

La estacionariedad débil exige una media constante, una varianza finita constante y autocovarianzas que dependan del rezago, no del tiempo calendario. Una serie estacionaria todavía puede fluctuar intensamente y mostrar secuencias persistentes. Por el contrario, una muestra no estacionaria puede parecer tranquila durante una ventana corta.

Considera la diferencia entre una tendencia determinista y una tendencia estocástica. Eliminar una tendencia temporal fija puede resolver la primera. La diferenciación aborda un componente de raíz unitaria, aunque diferenciar innecesariamente puede crear una dependencia evitable.

Para más ejemplos, consulta Forecasting: Principles and Practice sobre estacionariedad y diferenciación. En el trabajo aplicado, un gráfico, el conocimiento institucional y las pruebas formales deben orientar conjuntamente la transformación.

Ejemplo resuelto 12: demuestra por qué aumenta la varianza de un paseo aleatorio

Sea Y_t = Y_t−1 + ε_t, con Y₀ fijo e innovaciones no correlacionadas de varianza σ². La sustitución repetida suma todas las innovaciones desde la fecha inicial. En consecuencia, las varianzas de esos choques se suman.

Con σ² = 1, la varianza del nivel es 1 después de un período, 10 después de diez y 20 después de veinte. Sin embargo, cada primera diferencia tiene varianza 1. Así, la diferenciación elimina la tendencia estocástica acumulada en este modelo específico.

Ejemplo resuelto 13: reconoce la regresión espuria

Imagina generar X_t e Y_t como paseos aleatorios separados con secuencias de innovaciones independientes. Sus procesos generadores de datos no contienen ningún vínculo. Aun así, una muestra particular puede mostrar una relación fuerte en niveles porque ambas trayectorias fluctúan a lo largo del tiempo.

El capítulo proporcionado ilustra este problema con dos series simuladas: su regresión en niveles presenta R² = 0.32 y un estadístico t de la pendiente de −2.84. Después de diferenciar, el R² informado baja a 0.02 y el estadístico t a −0.53. Estas cifras describen ese ejemplo didáctico; no son resultados universales de la diferenciación.

La lección importante se refiere a la validez de la inferencia. Los valores críticos t convencionales de regresiones estacionarias no se aplican automáticamente a niveles integrados sin relación. Por tanto, un estadístico t aparentemente impresionante no puede rescatar un modelo cuyos supuestos fundamentales fallan.

Al mismo tiempo, diferenciar todas las series con tendencia sin comprobar la cointegración puede descartar una relación relevante de largo plazo. La pregunta correcta es si las variables comparten una combinación de equilibrio estable. Esta pregunta viene después de evaluar la raíz unitaria.

La prueba de Dickey–Fuller aumentada

La regresión ADF incluye diferencias rezagadas para considerar la dependencia serial. Según la aplicación, puede incorporar un intercepto y una tendencia determinista. La hipótesis nula de raíz unitaria se refiere al coeficiente del nivel rezagado.

Utiliza valores críticos de Dickey–Fuller/MacKinnon en lugar de los umbrales habituales de la t de Student. La documentación oficial de ADF distingue las especificaciones deterministas y presenta valores p y valores críticos apropiados. Conviene recordar que la elección de la tendencia cambia la distribución de referencia pertinente.

Ejemplo resuelto 14: interpreta correctamente una decisión sobre raíz unitaria

Supón que una prueba ADF devuelve un estadístico de −2.40 y un valor crítico al 5% de −2.89. Estos números son resultados hipotéticos de una prueba especificada, no una tabla universal de valores críticos. Como −2.40 es menos negativo que −2.89, no rechazas la hipótesis nula de raíz unitaria.

Ahora supón que la prueba de primeras diferencias devuelve −4.80 frente a su umbral aplicable de −2.89. Rechazas la hipótesis nula de raíz unitaria para las diferencias. En conjunto, los resultados respaldan tratar la serie original como I(1), sujetos a limitaciones de especificación y potencia.

«No rechazar» no significa «demostrar» ni «aceptar como seguro». Una muestra corta puede tener dificultades para distinguir un coeficiente de 0.98 de otro de 1.00. Además, una ruptura estructural puede complicar la evidencia de una prueba estándar.

Utiliza KPSS como perspectiva complementaria

KPSS invierte la hipótesis nula habitual: prueba la estacionariedad en nivel o alrededor de una tendencia, según la especificación. Por tanto, comparar ADF y KPSS puede revelar casos en los que la evidencia merece mayor investigación. La documentación oficial de KPSS presenta las especificaciones alternativas y su interpretación.

Ejemplo resuelto 15: descubre el costo de diferenciar innecesariamente

Supón que Y_t ya consiste en ruido blanco con varianza σ². La diferenciación produce Z_t = ε_t − ε_t−1. Aunque la serie original no tenía correlación serial, su diferencia ahora presenta una correlación negativa en el primer rezago.

Así, la diferenciación innecesaria duplica la varianza en este ejemplo y crea un MA(1) en la frontera de invertibilidad. Un primer pico negativo grande en la ACF después de diferenciar puede ser una señal de alerta. Sin embargo, por sí solo no constituye evidencia concluyente.

Cointegración: una relación estable entre series que fluctúan

Dos variables I(1) pueden compartir una combinación lineal estacionaria. Cuando esto ocurre, decimos que están cointegradas. Sus niveles individuales pueden fluctuar, pero su desviación respecto a una relación específica de largo plazo no contiene la misma tendencia estocástica persistente.

El premio de economía de 2003 reconoció el trabajo de Clive Granger sobre métodos para analizar series temporales económicas con tendencias comunes. Además, el anuncio de la Real Academia Sueca de Ciencias sitúa la cointegración junto al trabajo de Robert Engle sobre volatilidad cambiante. En conjunto, estas contribuciones destacan que los problemas de las series temporales van más allá del ajuste promedio de una regresión.

Ejemplo resuelto 16: construye cointegración a partir de una tendencia compartida

Define X_t como un paseo aleatorio. Por separado, define u_t = 0.5u_t−1 + η_t como una perturbación estacionaria, con innovaciones independientes de los choques de X. Finalmente, construye Y_t = 5 + 2X_t + u_t.

Ambos niveles heredan la tendencia estocástica del paseo aleatorio. Aun así, restar de Y dos veces X y el intercepto cancela exactamente esa tendencia. Por tanto, el par está cointegrado por construcción.

Una correlación elevada por sí sola no establece esta propiedad. Debes identificar una combinación estacionaria, no simplemente dos líneas parecidas. Asimismo, la cointegración no determina automáticamente qué variable causa la otra.

Prueba los residuos estimados con valores críticos específicos de cointegración

El enfoque de Engle–Granger estima la ecuación de largo plazo y después prueba si sus residuos tienen una raíz unitaria. Sin embargo, esos residuos proceden de coeficientes estimados. Como resultado, su prueba no utiliza los mismos valores críticos que una prueba ADF ordinaria sobre una serie observada.

La prueba de cointegración de statsmodels utiliza una hipótesis nula de ausencia de cointegración y supone entradas I(1). Sus valores p y valores críticos consideran el contexto basado en residuos. Esto es preferible a tratar el valor p de una prueba ADF ordinaria sobre residuos como un resultado válido de Engle–Granger.

En un sistema más grande, pueden existir varias relaciones de largo plazo. Por tanto, un método de sistemas como el enfoque de Johansen puede resultar más apropiado que elegir una variable dependiente y ejecutar una única regresión de residuos. El número de variables y la pregunta de investigación determinan el siguiente paso.

La corrección de errores conecta los cambios de corto plazo con los desequilibrios de largo plazo

Un modelo de corrección de errores, o ECM, incluye una desviación de equilibrio rezagada junto a cambios de corto plazo. Define esa desviación antes de interpretar su coeficiente. Aquí, una brecha positiva significa que Y se encuentra por encima de su valor de largo plazo dado X.

Con esta definición, un λ negativo reduce un valor de Y que está por encima del equilibrio, manteniendo lo demás constante. En cambio, un coeficiente positivo lo eleva en esta interpretación de una sola ecuación y X fijo. Invertir la definición del residuo invierte el signo esperado del coeficiente.

Ejemplo resuelto 17: interpreta el ajuste y calcula su vida media

Supón que el modelo es ΔY_t = 0.40ΔX_t − 0.25e_t−1, sin intercepto ni rezagos adicionales. Mantén X fijo y comienza con una brecha de equilibrio de 10 unidades. Por tanto, el primer cambio previsto en Y es −2.5 y deja una brecha de 7.5.

Bajo estos supuestos restrictivos, la convergencia exige |1 + λ| < 1, o −2 < λ < 0. El intervalo más estrecho −1 < λ < 0 genera una convergencia suave sin cambios de signo. En cambio, −2 < λ < −1 implica oscilaciones alrededor del equilibrio con convergencia.

Un ECM más completo puede incluir rezagos adicionales, retroalimentación a través de X y varias relaciones de equilibrio. En esos modelos, la estabilidad depende del sistema dinámico completo. Por tanto, comprobar el signo de una sola ecuación es un diagnóstico útil, pero no sustituye el análisis de estabilidad del sistema.

Una revisión importante del ejemplo de IPC proporcionado

El último ejercicio fotografiado presenta un coeficiente ECM de +0.12 para el residuo rezagado, con un estadístico t de 0.96. Bajo e = Y − Ŷ y la interpretación condicional sencilla anterior, esa estimación no demuestra un ajuste estabilizador en Y. Además, el estadístico t informado aporta evidencia débil contra un coeficiente nulo bajo la inferencia convencional.

Esta observación no demuestra que el cálculo original contenga un error tipográfico. Una orientación distinta del residuo, un ajuste conjunto a través de X o estimaciones débiles en muestras pequeñas podrían cambiar la interpretación. Por tanto, la conclusión apropiada es revisar la definición del residuo, la especificación de la ecuación y la estimación subyacente antes de describir el coeficiente como una «corrección del 12%».

El mismo ejemplo utiliza niveles del IPC de ciudades desde enero de 1998 hasta diciembre de 2000, lo que proporciona solo 36 observaciones mensuales antes de perder observaciones por los rezagos. Es una muestra pequeña para distinguir persistencia y ajuste de largo plazo. La tabla histórica resulta útil para enseñar, pero no puede establecer una relación actual entre esas ciudades.

También existe un problema de medición: los niveles del IPC de las ciudades no indican cuál tiene un costo de vida más alto. La sección de preguntas y respuestas del BLS sobre el IPC explica que los índices de cada área miden cambios de precios respecto a sus respectivas bases. Por ejemplo, índices de 170 y 160 indican cambios acumulados distintos desde la base, no que la canasta de consumo de una ciudad cueste actualmente un 6.25% más.

Ejemplo resuelto 18: deriva un ECM a partir de una regresión dinámica

Comienza con un modelo autorregresivo sencillo de rezagos distribuidos. Supón que 1 − ρ no es cero y que la desviación de equilibrio resultante es estacionaria. Resta la variable dependiente rezagada y utiliza X_t = X_t−1 + ΔX_t para reorganizar la ecuación.

Define el intercepto y la pendiente de largo plazo como α = c/(1 − ρ) y β = (b₀ + b₁)/(1 − ρ). Después, factoriza los términos en niveles. Esto proporciona directamente la representación de corrección de errores.

Para c = 1, ρ = 0.6, b₀ = 0.3 y b₁ = 0.5, el intercepto de largo plazo es 2.5 y la pendiente de largo plazo es 2.0. Mientras tanto, el impacto de corto plazo es 0.3 y el coeficiente de ajuste es −0.4. Estas tres cantidades describen partes distintas del mismo modelo.

El álgebra por sí sola no establece cointegración ni justifica una interpretación causal. Todavía necesitas las propiedades de integración pertinentes y supuestos sobre los regresores y las innovaciones. Aun así, muestra por qué diferenciar un modelo válido de largo plazo sin conservar el término de equilibrio puede omitir información importante.

Causalidad de Granger: la información predictiva no es causalidad estructural

X causa a Y en el sentido de Granger cuando los valores pasados de X aportan información predictiva para Y más allá del resto del historial incluido en el modelo. La expresión se refiere a un conjunto de información especificado. No significa automáticamente que intervenir sobre X cambiaría Y.

La documentación oficial de la prueba de causalidad de Granger describe esta restricción conjunta. En la práctica, la dirección de la prueba importa: la evidencia de que X predice Y no implica que Y también prediga X.

Ejemplo resuelto 19: calcula una prueba conjunta de Granger

Supón una regresión estacionaria correctamente especificada con 100 observaciones utilizables. El modelo restringido tiene RSS = 120, mientras que el no restringido tiene RSS = 100 y cinco coeficientes estimados. Añadir dos términos rezagados de X impone dos restricciones bajo la hipótesis nula.

El valor p aproximado bajo una distribución de referencia F(2, 95) es 0.000173. Por tanto, este ejemplo hipotético rechaza al 5% la exclusión conjunta de los rezagos de X. La conclusión se refiere a la información predictiva adicional dentro de la regresión especificada.

Para variables integradas, no apliques mecánicamente a los niveles la misma prueba de regresión estacionaria. Los sistemas cointegrados generalmente requieren un marco apropiado de corrección de errores, donde los efectos rezagados de corto plazo y el ajuste de largo plazo implican restricciones diferentes. También existen procedimientos alternativos adecuados, pero sus supuestos deben corresponder a la estructura de integración.

El momento de publicación crea otra trampa práctica. Una variable identificada como «marzo» puede estar disponible solo en abril. En consecuencia, utilizar su observación de marzo para predecir un resultado de marzo puede proporcionar accidentalmente al modelo información que un pronosticador real aún no tenía.

Un proceso práctico para aplicar métodos de series temporales

Elige la familia de modelos a partir de la pregunta estadística

ARIMA(p, d, q) describe un modelo con d diferencias regulares y dinámica ARMA para la serie transformada. La versión estacional de ARIMA añade órdenes estacionales y un período estacional. Para datos mensuales, una diferencia estacional anual habitual es Y_t − Y_t−12.

En concreto, un ARIMA(1,1,0) aplica una diferencia regular y después ajusta un AR(1) a esa variación. Esto no significa que el nivel original sea un AR(1) estacionario. Mantener explícita esa distinción evita confusiones al explicar un pronóstico a un lector no especializado.

Diseña una validación cronológica

Mantén el período de evaluación después del período de estimación. Mezclar aleatoriamente las observaciones puede introducir información futura en el desarrollo del modelo. En cambio, utiliza una muestra de validación fija o repetidos orígenes de pronóstico que respeten la cronología.

Por ejemplo, entrena con los meses 1–60 y predice el mes 61; después, entrena con los meses 1–61 y predice el mes 62. Repite el proceso durante la ventana de evaluación. Si la empresa necesita pronósticos a tres meses, evalúa directamente ese horizonte en lugar de depender solo de resultados a un paso.

Hyndman y Athanasopoulos describen la validación de series temporales con origen móvil. Este enfoque evalúa la tarea de pronóstico y conserva el orden de llegada de la información. Todo el preprocesamiento y la selección de parámetros también deben permanecer dentro de la ventana de entrenamiento correspondiente.

Compara con un modelo de referencia e informa errores comprensibles

Un modelo complejo debe justificar su complejidad superando una referencia pertinente. Para un paseo aleatorio, el último valor observado es el pronóstico natural sin deriva. Por otra parte, en una serie marcadamente estacional, el valor del año anterior para la misma estación ofrece otra referencia útil.

Supón que tres errores de pronóstico son 2, −1 y 3. Su MAE es 2, mientras que su RMSE es √(14/3), aproximadamente 2.16. Como RMSE eleva los errores al cuadrado, unos pocos errores grandes pueden dominarlo con mayor intensidad.

Elige la métrica que corresponda a la decisión. Un responsable de inventario puede preocuparse más por faltantes costosos que por errores medios simétricos. Además, evita errores porcentuales cuando los valores reales puedan ser cero o acercarse mucho a ese valor.

Los intervalos de predicción revelan lo que ocultan los pronósticos puntuales

Para el AR(1) estacionario con parámetros conocidos del ejemplo 1, el error de pronóstico a h pasos acumula choques futuros con pesos decrecientes. Por tanto, su varianza condicional es:

Con φ = 0.8 y σ² = 4, la desviación estándar a un paso es 2. La varianza a tres pasos es 4(1 + 0.64 + 0.4096) = 8.1984, lo que da una desviación estándar aproximada de 2.8633. Bajo innovaciones gaussianas y parámetros conocidos, el pronóstico a tres pasos de 12.56 tiene un intervalo aproximado del 95% entre 6.95 y 18.17.

Los parámetros estimados crean incertidumbre adicional que este cálculo sencillo ignora. Además, los cambios en el entorno económico pueden ampliar todavía más la diferencia práctica. En consecuencia, un intervalo estrecho basado en el modelo nunca debe sustituir una revisión de los supuestos.

Revisa los datos antes de revisar el modelo

Documenta cada transformación en el orden en que la aplicas. Por ejemplo, una diferencia logarítmica aproxima una tasa de crecimiento proporcional, mientras que una primera diferencia ordinaria permanece en las unidades originales. Confundir ambas puede convertir un coeficiente correcto en una interpretación empresarial equivocada.

Si un nivel positivo aumenta de 100 a 110, su variación porcentual ordinaria es del 10%. El cambio logarítmico es ln(110) − ln(100), aproximadamente 0.09531; al multiplicarlo por 100, obtenemos 9.531 puntos logarítmicos. Sin embargo, la aproximación es más cercana para cambios menores.

Diez errores que pueden invalidar un análisis aparentemente sólido

1. Equiparar un R-cuadrado elevado con una relación válida. Comprueba primero las tendencias estocásticas y los supuestos que sustentan la inferencia.
2. Comparar coeficientes MA sin considerar sus signos. Traduce las ecuaciones completas antes de interpretar una diferencia.
3. Llamar estacionario a cualquier proceso AR. Verifica sus raíces características.
4. Tratar estacionariedad e invertibilidad como sinónimos. Se refieren a propiedades distintas del modelo.
5. Usar valores críticos t ordinarios en una prueba de raíz unitaria. Aplica la distribución no estándar apropiada.
6. Interpretar no rechazar como demostración de una raíz unitaria. Considera la potencia, las tendencias y las rupturas estructurales.
7. Usar valores p ordinarios de ADF sobre residuos como evidencia de cointegración. Utiliza inferencia de cointegración basada en residuos.
8. Describir cualquier coeficiente ECM como corrección. Comprueba la orientación del residuo y la estabilidad dinámica.
9. Interpretar la causalidad de Granger como efecto de una intervención. Separa el contenido predictivo de la identificación estructural.
10. Seleccionar un modelo con información futura. Conserva la cronología durante el preprocesamiento, la estimación y la validación.

Preguntas frecuentes sobre métodos de series temporales

¿Cuál es la diferencia entre ARMA y ARIMA?

ARMA modela dinámicas estacionarias mediante términos autorregresivos y de medias móviles. ARIMA añade diferenciación, representada por d, antes de modelar esas dinámicas. Así, ARIMA(p, 0, q) corresponde a ARMA(p, q) bajo convenciones compatibles.

¿Un modelo de medias móviles es lo mismo que una media deslizante?

No. Un modelo MA utiliza innovaciones actuales y pasadas. Una media deslizante suaviza los datos observados dentro de una ventana. Aunque ambos conceptos se relacionan con «medias móviles», sus funciones estadísticas son diferentes.

¿Una serie estacionaria puede tener tendencia?

Una media determinista no constante viola la estacionariedad débil del nivel original. Sin embargo, las desviaciones alrededor de una tendencia determinista pueden ser estacionarias. En ese caso, «estacionaria alrededor de una tendencia» describe el proceso después de considerar esa tendencia.

¿Una prueba de Ljung–Box no significativa demuestra que los residuos son ruido blanco?

No. Significa que la prueba no encontró evidencia suficiente de autocorrelación en los rezagos seleccionados. Pueden persistir otros patrones de dependencia, cambios de varianza o limitaciones de potencia. Por tanto, revisa varios aspectos de los residuos y de los resultados de pronóstico.

¿Dos series pueden estar cointegradas sin moverse en una proporción de uno a uno?

Sí. La combinación estacionaria puede incluir un coeficiente distinto de uno y puede incorporar un intercepto o términos deterministas adecuados. Por ejemplo, Y − 5 − 2X es estacionaria en el ejemplo construido anteriormente.

¿Debo diferenciar dos variables cointegradas?

Un ECM suele modelar sus diferencias y conservar un término rezagado de equilibrio de largo plazo. Regresar simplemente una diferencia sobre otra puede omitir esa información de ajuste. Por tanto, la cointegración cambia la forma en que debe especificarse el modelo en diferencias.

¿Un coeficiente positivo de corrección de errores siempre significa inestabilidad?

No existe una interpretación universal sin conocer la definición del residuo y el sistema completo. En el modelo sencillo con X fijo y e = Y − α − βX, un coeficiente positivo amplifica la brecha. Invertir esa definición invierte el signo, mientras que las dinámicas conjuntas requieren un análisis de estabilidad más amplio.

¿Cuántas observaciones necesito?

No existe un mínimo universal que garantice una estimación fiable. Más parámetros, ciclos estacionales más largos, persistencia fuerte y cambios estructurales aumentan la necesidad de información. Por ello, mantén los modelos de muestras pequeñas parsimoniosos e informa la incertidumbre en lugar de depender de un único umbral.

Conclusión: modela la persistencia antes de interpretar las relaciones

Los métodos de series temporales funcionan mejor cuando cada decisión se deriva del proceso que intentas comprender. En particular, los términos AR y MA describen cómo se propagan los choques, mientras que las pruebas de raíz unitaria ayudan a evaluar si estos se acumulan. La cointegración pregunta entonces si varias series persistentes comparten una relación estable de largo plazo.

Después, un ECM conecta los cambios de corto plazo con esa relación, y una prueba de Granger examina información predictiva adicional. Ninguna de estas herramientas elimina la necesidad de comprobar signos, definiciones, momentos y supuestos. El modelo más útil combina una explicación coherente con diagnósticos honestos y desempeño en observaciones realmente posteriores.

Fuentes, procedencia de los datos y lecturas adicionales

Como referencia inicial, las fotografías proporcionadas incluyen un capítulo titulado Time-Series Methods, páginas 242–260. Este artículo utiliza ese material como guía temática e identifica los pocos ejemplos numéricos extraídos de él. Como las fotografías no establecen los detalles bibliográficos completos del libro, esta guía no inventa autor, edición ni año de publicación.

Todos los demás escenarios numéricos resueltos y curvas representadas son cálculos didácticos originales, no estimaciones de las condiciones económicas actuales. Las referencias externas siguientes respaldan los métodos mencionados y las precauciones de medición. En particular, el artículo distingue las derivaciones originales de los resultados históricos del manual y de los ejemplos de documentación.

• Hyndman y Athanasopoulos — Forecasting: Principles and Practice, modelos ARIMA
• Hyndman y Athanasopoulos — Estacionariedad y diferenciación
• Hyndman y Athanasopoulos — Validación cruzada de series temporales
• NIST/SEMATECH e-Handbook — Autocorrelación
• NIST/SEMATECH e-Handbook — Identificación de modelos Box–Jenkins
• statsmodels — Prueba de autocorrelación residual de Ljung–Box
• statsmodels — Prueba de Dickey–Fuller aumentada
• statsmodels — Prueba de estacionariedad KPSS
• statsmodels — Prueba de cointegración de Engle–Granger aumentada
• statsmodels — Pruebas de no causalidad de Granger
• Real Academia Sueca de Ciencias — Premio de Economía 2003
• Oficina de Estadísticas Laborales de Estados Unidos — Preguntas y respuestas sobre el índice de precios al consumidor