Modelos de ecuaciones simultáneas: ILS y 2SLS

¿Qué son los modelos de ecuaciones simultáneas?

Un modelo de ecuaciones simultáneas describe varias relaciones que operan conjuntamente. Una variable endógena depende del propio sistema, mientras que una variable exógena procede de fuera del modelo. Sin embargo, esa clasificación por sí sola no establece los supuestos estadísticos necesarios para la estimación.

Considera un mercado de tomates. Una ecuación de demanda relaciona las compras con el precio y los ingresos de los hogares. Mientras tanto, una ecuación de oferta relaciona la producción con el precio y las condiciones de cultivo. El precio de mercado se ajusta hasta que compradores y vendedores coinciden en una cantidad.

En consecuencia, el precio observado refleja ambos lados del mercado. Un choque de demanda puede aumentar simultáneamente el precio y la cantidad, incluso cuando cada hogar compra menos ante un precio mayor, manteniendo constantes los demás factores.

Estas distinciones siguen el enfoque habitual de ecuaciones simultáneas de los apuntes de Shalabh, del IIT Kanpur. No obstante, el trabajo empírico debe justificar la exogeneidad en su contexto específico.

Por qué un diagrama de dispersión no identifica automáticamente la demanda

Un conjunto de puntos de equilibrio puede reflejar desplazamientos de la demanda, de la oferta o de ambas. Por tanto, ajustar una recta a esos puntos no traza automáticamente ninguna de las curvas estructurales. La cuestión central es qué causó el movimiento observado.

Cuando solo se desplaza la demanda y la oferta permanece fija, las observaciones de equilibrio trazan la curva de oferta. Por el contrario, los desplazamientos de la oferta pueden trazar una curva de demanda estable. Un instrumento formaliza esta idea al aislar una fuente de movimiento que satisface los supuestos de la ecuación de interés.

La simultaneidad es una fuente de endogeneidad

La endogeneidad significa que un regresor se correlaciona con el error de la ecuación de interés. La determinación simultánea puede crear este problema, pero las variables omitidas y el error de medición también pueden provocarlo. Por consiguiente, añadir una segunda ecuación no necesariamente resuelve todas las fuentes de sesgo.

Asimismo, un modelo puede contener varias ecuaciones sin retroalimentación contemporánea. Los sistemas recursivos presentan una ordenación unidireccional. Bajo supuestos adecuados de ortogonalidad de los errores, los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) aplicados ecuación por ecuación pueden funcionar en estos sistemas.

Ecuaciones estructurales y formas reducidas

Las ecuaciones estructurales representan las relaciones de comportamiento que se quieren comprender. En cambio, las formas reducidas expresan los resultados endógenos mediante las variables exógenas del modelo y errores compuestos. Así, ambas formas responden a preguntas diferentes.

Un sistema de demanda y oferta

Supón a₁ < 0, b₁ > 0 y a₂ > 0. Además, considera que los ingresos son ortogonales a ambos errores estructurales y presentan variación relevante. Excluir los ingresos de la oferta proporciona una posible fuente de identificación para la ecuación de oferta.

Iguala los lados derechos y agrupa los términos de precio. Siempre que b₁ − a₁ ≠ 0, el sistema tiene una solución algebraica única para el precio:

A continuación, la sustitución en la oferta proporciona la forma reducida de la cantidad:

Para abreviar la notación, escribe Q = π_Q0 + π_QYY + v_Q y P = π_P0 + π_PYY + v_P. Observa que los errores de las formas reducidas combinan los choques originales. Como los ingresos siguen siendo ortogonales a esas combinaciones bajo nuestros supuestos, MCO puede estimar consistentemente los coeficientes de las formas reducidas.

Por qué difieren los efectos estructurales y de forma reducida

El coeficiente estructural a₂ mide el efecto de los ingresos sobre la demanda con un precio fijo. En cambio, π_QY mide la respuesta de la cantidad de equilibrio después del ajuste del precio. Confundir estos efectos puede conducir a una interpretación equivocada de política económica.

Por ejemplo, un aumento de los ingresos puede elevar las compras deseadas por los consumidores y también el precio. La subida del precio compensa parte de la expansión inicial de la demanda. En consecuencia, el cambio final de la cantidad puede ser menor que el desplazamiento de la demanda a precio constante.

Una versión matricial compacta

Aquí, y contiene los resultados endógenos y x contiene las variables exógenas. Una matriz B invertible proporciona una forma reducida única. Sin embargo, la invertibilidad por sí sola no identifica todos los coeficientes estructurales: diferentes sistemas estructurales aún pueden generar las mismas relaciones de forma reducida.

Para un tratamiento didáctico complementario de la retroalimentación y las formas reducidas, consulta el capítulo sobre sistemas de ecuaciones del libro de econometría alojado por SUNY.

Identificación: ¿permiten los datos recuperar la ecuación?

La identificación determina si las restricciones del modelo y las relaciones poblacionales establecen de forma única los parámetros de interés. La estimación viene después. Por tanto, una muestra grande no puede resolver una ecuación que el modelo deja sin identificar.

La condición de orden

Sea m el número de regresores endógenos del lado derecho de la ecuación de interés. Por su parte, L representa el número de instrumentos excluidos, una vez considerados los controles exógenos incluidos. En el esquema habitual de exclusiones lineales, el recuento proporciona una primera regla de evaluación:

Contar instrumentos no demuestra su utilidad. Por ejemplo, dos instrumentos que mueven dos variables endógenas exactamente en la misma proporción aportan solo una dirección independiente de variación.

La condición de rango

Tras eliminar el efecto de los controles exógenos incluidos, considera que Z̃ contiene los instrumentos excluidos y D̃ contiene los regresores endógenos. La matriz poblacional relevante de momentos cruzados debe tener rango completo por columnas:

Esta expresión resume la variación independiente de los instrumentos necesaria en una ecuación lineal de variables instrumentales (VI). En un sistema simultáneo completo, la condición estructural de rango expresa el mismo problema de identificación mediante restricciones sobre las demás ecuaciones. Los apuntes del IIT Kanpur desarrollan este enfoque sistémico.

La relevancia y la validez son requisitos diferentes

Un instrumento relevante predice el regresor endógeno después de considerar los controles. Además, un instrumento válido satisface los supuestos de exclusión y ortogonalidad de la ecuación de interés. Por consiguiente, un excelente predictor todavía puede ser un instrumento inválido.

Supón que el clima afecta la oferta agrícola. Puede ayudar a identificar la demanda si modifica el precio de mercado sin cambiar de manera independiente la demanda de los compradores. Sin embargo, el clima también podría alterar la demanda de ciertos alimentos, el comportamiento de compra o los ingresos locales. Un argumento empírico útil debe considerar esas vías alternativas.

Del mismo modo, los ingresos pueden ayudar a identificar la oferta solo si resulta convincente excluir su efecto directo de la ecuación de oferta. Las condiciones de financiación de los productores, los costos salariales locales o los cambios en la calidad del producto podrían debilitar esa restricción. Por tanto, el razonamiento económico importa tanto como el álgebra.

Las variables rezagadas no se convierten automáticamente en instrumentos válidos

Un rezago precede a la observación actual, pero el orden temporal por sí solo no demuestra ortogonalidad. Los errores correlacionados en serie pueden conectar el resultado endógeno de ayer con la perturbación de hoy. En consecuencia, los instrumentos rezagados requieren supuestos sobre el proceso dinámico.

Una tendencia también merece un examen cuidadoso. Puede captar cambios tecnológicos omitidos, preferencias, inflación u otros movimientos graduales. Excluir una tendencia de una ecuación e incluirla en otra impone una restricción económica, en lugar de constituir una simple decisión de presentación.

Cómo ILS y 2SLS estiman modelos de ecuaciones simultáneas

Mínimos cuadrados indirectos

Los mínimos cuadrados indirectos, o ILS por sus siglas en inglés, recuperan coeficientes estructurales transformando los coeficientes estimados de las formas reducidas. Este método se aplica de manera natural cuando la ecuación de interés está exactamente identificada. En la ecuación sencilla de oferta anterior, el cociente de los efectos de los ingresos recupera la pendiente respecto al precio:

Intuitivamente, los ingresos desplazan la demanda y mueven el equilibrio a lo largo de la oferta. Dividir la respuesta de la cantidad entre la respuesta del precio mide esa pendiente de oferta. Sin embargo, un denominador cercano a cero vuelve inestable el cociente.

Utilizar ILS no hace imposible calcular errores estándar. El método delta o un bootstrap adecuado puede estimar la incertidumbre de la transformación de los coeficientes. No obstante, estos enfoques requieren cuidado, especialmente cuando la estimación del denominador es poco precisa.

Mínimos cuadrados en dos etapas

Los mínimos cuadrados en dos etapas, o 2SLS por sus siglas en inglés, utilizan la variación de los regresores endógenos asociada a los instrumentos. Primero, proyecta cada regresor endógeno sobre el conjunto completo de instrumentos. Después, realiza la regresión de la variable dependiente sobre los regresores endógenos ajustados y los controles exógenos incluidos.

En este ejemplo de demanda, Y es un control exógeno incluido y C es un desplazador de la oferta excluido. Ambos entran en la primera etapa, junto con la constante. La exclusión se aplica a la ecuación estructural de demanda, no a la ecuación de predicción de la primera etapa.

Para realizar la inferencia, utiliza un estimador de VI. Una regresión ordinaria por MCO sobre los valores ajustados generados suele informar errores estándar incorrectos. Las preguntas frecuentes oficiales de Stata sobre 2SLS explican esta distinción y el papel de las variables exógenas incluidas.

La fórmula matricial

Aquí, X contiene todos los regresores estructurales, incluidos los regresores endógenos y los controles exógenos. Por su parte, Z contiene los regresores exógenos incluidos y los instrumentos excluidos. Las inversas requieren que las matrices muestrales relevantes tengan rango completo.

Con identificación exacta, ILS y VI/2SLS proporcionan las mismas estimaciones de los coeficientes cuando utilizan los mismos datos, restricciones y especificación. En una ecuación sobreidentificada, 2SLS combina la información de varios instrumentos. Los cocientes calculados por separado para cada instrumento suelen diferir en una muestra finita.

Comparación entre MCO, ILS y 2SLS

El manual oficial de ivregress documenta 2SLS, LIML, GMM y los estimadores de varianza disponibles. La elección del estimador debe seguir el diseño y los supuestos de la investigación, en lugar de favorecer la especificación que produzca el signo deseado.

Instrumentos débiles y confianza engañosa

Un instrumento puede satisfacer la condición de relevancia poblacional y, aun así, aportar poca información en una muestra finita. Como resultado, los intervalos de confianza y las pruebas convencionales de VI pueden comportarse mal. Un R² global elevado en la primera etapa no resuelve este problema si los controles incluidos explican la mayor parte del ajuste.

Concéntrate en la contribución condicional de los instrumentos excluidos. Presenta diagnósticos adecuados de la primera etapa y, cuando sea necesario, inferencia robusta a instrumentos débiles. La conocida regla F > 10 es una convención aproximada de evaluación, no una garantía universal.

La investigación de Stock y Yogo sobre instrumentos débiles relaciona los valores críticos con criterios específicos de sesgo y tamaño de las pruebas. Además, una investigación del Federal Reserve Bank of New York aborda pruebas robustas con varios regresores endógenos. La elección del diagnóstico debe corresponder a los supuestos de covarianza y al número de variables endógenas.

20 ejercicios resueltos sobre modelos de ecuaciones simultáneas

Los ejercicios siguientes utilizan números construidos originalmente, salvo cuando mencionan de forma explícita el material histórico proporcionado. Son cálculos didácticos, no estimaciones de un mercado actual. Cada respuesta explica tanto el significado económico como la aritmética.

Ejercicio 1: clasifica las variables

Pregunta: ¿Qué variables son endógenas y qué variable proporciona una exclusión?

Solución: El sistema determina conjuntamente Q y P, por lo que ambas son endógenas. Los ingresos Y constituyen la variable que suponemos exógena, y la ecuación de oferta la excluye. Por tanto, los ingresos pueden identificar potencialmente la oferta, mientras que este sistema no proporciona ninguna variable exógena excluida para la demanda.

Ejercicio 2: encuentra el equilibrio para unos ingresos determinados

Pregunta: Establece ambos choques en cero y considera Y = 20. Encuentra el precio y la cantidad de equilibrio.

Interpretación: Con un precio de 22, ambos lados implican una cantidad de 86. La sustitución en la demanda da 120 − 44 + 10 = 86, lo que comprueba la solución de forma independiente.

Ejercicio 3: deriva ambas formas reducidas

Pregunta: Resuelve el mismo modelo para valores arbitrarios de los ingresos y los choques.

Solución: La diferencia entre las pendientes es 3 − (−2) = 5. Por consiguiente, el coeficiente de los ingresos en la ecuación del precio es 0.5/5 = 0.1. La sustitución en la oferta proporciona los coeficientes restantes.

Ejercicio 4: recupera la oferta mediante ILS

Pregunta: Utiliza los coeficientes de los ingresos y los interceptos de las formas reducidas del Ejercicio 3 para recuperar la oferta.

Respuesta: Q = 20 + 3P + u_s. Así, las formas reducidas recuperan exactamente la ecuación original de oferta en este ejemplo poblacional.

Ejercicio 5: compara los efectos estructurales y de equilibrio de los ingresos

Pregunta: ¿Cómo afecta a la cantidad un aumento de 10 unidades en los ingresos?

Solución: Con un precio fijo, la demanda aumenta en 0.5 × 10 = 5 unidades. Sin embargo, el precio de equilibrio sube 0.1 × 10 = 1, lo que reduce las compras deseadas en 2 unidades. El aumento final de la cantidad es 5 − 2 = 3 unidades, igual a 0.3 × 10.

Ejercicio 6: muestra por qué el precio se correlaciona con los errores

Pregunta: Supón que Y, u_d y u_s no están correlacionados entre sí. ¿Cuáles son las covarianzas entre el precio y los errores?

Solución: Observa los coeficientes de los choques en la forma reducida del precio. A menos que el choque correspondiente tenga varianza cero, el precio se correlaciona con el error de esa ecuación. En consecuencia, la ortogonalidad habitual de MCO no se cumple en ambas ecuaciones estructurales.

Ejercicio 7: calcula la dirección del sesgo de MCO en la oferta

Pregunta: Considera Var(Y) = 100, Var(u_d) = 25 y Var(u_s) = 25, con covarianzas nulas entre pares. ¿A qué pendiente se aproxima el estimador de oferta por MCO?

Interpretación: Incluso con una muestra arbitrariamente grande, el estimador converge a aproximadamente 1.33 en lugar de 3 bajo estos supuestos. Por tanto, más observaciones reducen el ruido muestral sin eliminar el sesgo de simultaneidad.

Ejercicio 8: aplica la condición de orden

Pregunta: Clasifica cada ecuación del Ejercicio 1 utilizando los instrumentos excluidos.

Solución: La oferta contiene un regresor endógeno, P, y excluye una variable exógena, Y. Su recuento permite la identificación exacta, y el coeficiente no nulo de la primera etapa establece la condición de rango en este caso. En cambio, la demanda contiene P, pero no excluye ninguna variable exógena, por lo que permanece subidentificada bajo estas restricciones.

Ejercicio 9: añade un desplazador de la oferta para identificar la demanda

Pregunta: Si el costo C es exógeno y la demanda lo excluye, recupera la pendiente de la demanda respecto al precio.

Interpretación: Un costo mayor eleva el precio de equilibrio y reduce la cantidad. Como el costo desplaza únicamente la oferta, el cociente traza la demanda y no la oferta.

Ejercicio 10: recupera los coeficientes restantes de la demanda

Pregunta: Utiliza el Ejercicio 9 para recuperar el coeficiente de los ingresos y el intercepto.

Respuesta: La ecuación recuperada coincide con la especificación original de demanda. Además, el cálculo separa el efecto directo de los ingresos del ajuste del precio.

Ejercicio 11: construye una primera etapa de 2SLS

Pregunta: Estima la demanda del Ejercicio 9 utilizando el conjunto de instrumentos {1, Y, C}. ¿Qué variables entran en la primera etapa para P?

Solución: Realiza la regresión de P sobre una constante, Y y C. Después, utiliza P ajustado junto con Y y una constante para calcular los coeficientes de la segunda etapa. Aunque C actúa como instrumento excluido, omitir Y de la proyección de la primera etapa suele cambiar el estimador.

Por ejemplo, unos coeficientes de primera etapa de 20, 0.1 y 0.8 predicen P̂ = 26 cuando Y = 20 y C = 5. En consecuencia, la predicción de demanda es 120 − 2(26) + 0.5(20) = 78.

Ejercicio 12: obtén una pendiente de VI a partir de momentos

Pregunta: Tras eliminar el efecto de los controles incluidos, supón Cov(Z,Q) = −12 y Cov(Z,P) = 6. Encuentra la pendiente de VI exactamente identificada.

Interpretación: El cociente utiliza la variación asociada al instrumento. Sin embargo, la aritmética por sí sola no establece que Z satisfaga la restricción de exclusión.

Ejercicio 13: cumple la condición de orden, pero no la de rango

Pregunta: Dos regresores endógenos tienen dos instrumentos excluidos. Su matriz condicional de coeficientes de primera etapa es la siguiente:

Solución: El recuento da L = m = 2, pero la matriz tiene rango 1. Ambos instrumentos mueven las variables endógenas en la misma proporción. Por tanto, la ecuación permanece subidentificada pese a cumplir el recuento de la condición de orden.

Ejercicio 14: calcula un estadístico F convencional de primera etapa

Pregunta: Una primera etapa homocedástica utiliza n = 100 observaciones, dos instrumentos excluidos y cuatro coeficientes, incluido el intercepto. Las sumas de cuadrados de los residuos de los modelos restringido y no restringido son 150 y 120.

Interpretación: Los instrumentos excluidos mejoran conjuntamente el ajuste de la primera etapa. No obstante, F = 12 no certifica la validez de los instrumentos ni garantiza una inferencia convencional fiable. Utiliza una evaluación de instrumentos débiles apropiada para el modelo y la estructura de los errores.

Ejercicio 15: descubre por qué el R² global puede engañar

Pregunta: Los controles incluidos por sí solos producen R² = 0.900, mientras que añadir un instrumento lo eleva a 0.901. ¿Cuál es el R² parcial del instrumento?

Solución: El instrumento explica solo el 1% de la variación restante después de los controles. Así, un R² global de primera etapa superior al 90% puede coexistir con poca información incremental del instrumento. El tamaño de la muestra también importa para la fortaleza estadística, por lo que el R² parcial no constituye por sí solo un diagnóstico completo.

Ejercicio 16: cuenta las restricciones de sobreidentificación

Pregunta: Una ecuación contiene un regresor endógeno y tres instrumentos excluidos. ¿Cuántas restricciones de sobreidentificación tiene la prueba convencional?

Solución: Bajo rango completo y los supuestos de regularidad pertinentes, la prueba tiene dos grados de libertad. Sin embargo, no rechazar la hipótesis nula no demuestra que todos los instrumentos sean válidos. Los instrumentos pueden compartir infracciones similares, y las pruebas pueden tener poca potencia.

Ejercicio 17: convierte una pendiente en elasticidad

Pregunta: Con P = 22 y Q = 86, convierte la pendiente de demanda −2 y la pendiente de oferta 3 en elasticidades puntuales.

Interpretación: Un cambio del 1% en el precio corresponde localmente a una disminución aproximada del 0.512% en la cantidad demandada o a un aumento del 0.767% en la cantidad ofrecida, manteniendo constantes los respectivos desplazadores. A diferencia de un coeficiente log-log, una pendiente en nivel-nivel no es por sí misma una elasticidad.

Ejercicio 18: diagnostica un sistema recursivo

Pregunta: ¿La segunda ecuación requiere automáticamente VI?

Solución: No. Si X es ortogonal a u₂ y Cov(u₁,u₂) = 0, entonces y₁ puede ser ortogonal a u₂. No obstante, unas perturbaciones correlacionadas harían endógena a y₁ en la segunda ecuación, incluso sin retroalimentación.

Ejercicio 19: recupera un coeficiente macroeconómico

Pregunta: Supón que el efecto de forma reducida de la inversión I sobre M es 0.6, mientras que su efecto sobre Y es 3. Encuentra a₁.

Interpretación: La inversión aporta variación excluida para la ecuación de M bajo las restricciones asumidas. En cambio, la ecuación de Y no tiene ninguna variable exógena excluida en este sistema mínimo, por lo que el mismo argumento no permite recuperar todos sus coeficientes estructurales.

Ejercicio 20: cuantifica la contaminación del instrumento

Pregunta: Tras eliminar el efecto de los controles, supón que la pendiente estructural verdadera es −2, Cov(Z,P) = 4 y Cov(Z,u) = 0.8. ¿A qué valor se aproxima el cociente de VI?

Interpretación: VI sigue siendo inconsistente porque el instrumento viola la ortogonalidad. Además, una covarianza menor en la primera etapa amplificaría la misma contaminación. Por tanto, la fortaleza y la validez de los instrumentos interactúan, aunque siguen siendo requisitos distintos.

Un ejemplo agrícola histórico: lo que revelan las cifras impresas

El capítulo proporcionado incluye un ejemplo agrícola de Estados Unidos correspondiente a 1975–1996. Su tabla presenta un índice de producción agrícola, un índice de precios agrícolas y los ingresos disponibles per cápita en dólares de 1996. La nota de fuente impresa menciona el Economic Report of the President, 2000.

Estas cifras históricas ilustran el funcionamiento de la estimación. No describen el mercado agrícola actual, y esta guía no afirma haber reconstruido de forma independiente la base oficial original. La explicación siguiente revisa las ecuaciones redondeadas visibles en las páginas proporcionadas.

Recuperación de la pendiente de oferta impresa

En comparación, la pendiente de oferta estimada directamente por MCO en el texto es 0.5145. En consecuencia, la pendiente de ILS obtenida de los coeficientes redondeados mostrados es aproximadamente 2.92 veces mayor. Esta discrepancia ilustra la sensibilidad de los estimadores a los supuestos de identificación; no demuestra que la estimación de VI sea correcta.

Por qué importa redondear a cuatro decimales

Los coeficientes pequeños en la presentación pueden ocultar una incertidumbre económicamente relevante en el cociente. Si el redondeo habitual produjo 0.0039 y 0.0026, las cifras subyacentes podrían encontrarse aproximadamente en los intervalos siguientes:

Este es un intervalo de redondeo, no un intervalo de confianza. No obstante, muestra por qué el cociente de coeficientes impresos puede no coincidir con una estimación de software que conserva toda la precisión. Mantén los coeficientes sin redondear hasta la última etapa de presentación.

Una inconsistencia en la longitud de la tendencia

El ejercicio de demanda fotografiado describe valores de tendencia hasta 30, aunque la tabla agrícola abarca 22 años. Para una tendencia indexada a esa muestra, la secuencia natural es T = 1,…,22. Esta discrepancia debería motivar una comprobación de los datos antes de replicar el análisis.

Cambiar el punto inicial de una tendencia desplaza el intercepto, mientras que modificar su escala cambia el coeficiente asociado. Sin embargo, ninguna de esas convenciones crea ocho observaciones anuales adicionales. Alinea siempre la tendencia con las filas utilizadas realmente en la estimación.

Comprobación de la etiqueta de una variable estructural

El modelo de demanda incluye los ingresos Y, mientras que la ecuación de oferta incluye la tendencia T. Por tanto, recuperar la demanda a partir de las formas reducidas debe conservar Y en la ecuación estructural de demanda. La expresión final de demanda impresa parece asociar su pequeño coeficiente a T.

Utiliza el álgebra para resolver la ambigüedad. Con Q = a₀ + a₁P + a₂Y + u, los coeficientes de la tendencia excluida identifican a₁. Después, la diferencia entre los coeficientes de ingresos identifica a₂.

Los coeficientes mostrados proporcionan una pendiente respecto al precio cercana a 0.5619 y un coeficiente de ingresos próximo a 0.0025. Por consiguiente, ese segundo coeficiente corresponde a Y bajo la especificación declarada. Esta comprobación evita que un error de notación cambie el modelo económico.

Por qué merece investigación la pendiente positiva de demanda

La restricción teórica de demanda del capítulo exige un coeficiente de precio negativo, pero su estimación ilustrativa por VI es positiva. Calificar un estimador como consistente bajo ciertos supuestos no vuelve económicamente convincente cualquier realización muestral. En cambio, el signo invita a examinar la incertidumbre muestral, la fortaleza de los instrumentos, las exclusiones, las tendencias y la especificación del modelo.

El estadístico t impreso para la tendencia de la primera etapa es aproximadamente 1.95. Con un instrumento excluido e inferencia homocedástica convencional, el estadístico F correspondiente a la exclusión es aproximadamente 1.95² = 3.80. Por tanto, el ejemplo también plantea una preocupación por instrumentos débiles.

Este cálculo no establece que el instrumento sea inválido. Más bien, muestra que el modelo presentado aporta información estadística limitada sobre la pendiente de demanda. Un análisis moderno debería informar la incertidumbre y considerar inferencia que siga siendo fiable con instrumentos débiles.

Un procedimiento práctico para la investigación aplicada

Empieza por el mecanismo económico

Escribe las ecuaciones de comportamiento antes de buscar instrumentos. Especifica qué variables determina el sistema y qué restricciones identifican cada ecuación de interés. Después, explica cómo el instrumento propuesto mueve el regresor endógeno.

Para cada instrumento excluido, describe una infracción plausible. Un instrumento de costo de transporte también podría afectar la disponibilidad o la calidad del producto. Del mismo modo, un instrumento climático local podría influir directamente en la demanda de los consumidores. Considerar estos mecanismos produce un diseño más sólido que limitarse a informar una primera etapa significativa.

Revisa unidades, muestras y períodos

Comprueba si cada variable utiliza dólares, miles de dólares, puntos de índice o logaritmos. Confirma que la primera etapa y la ecuación estructural utilizan las mismas observaciones. De lo contrario, los valores ausentes pueden provocar un cambio de muestra no intencionado.

En los ejemplos de series temporales, examina tendencias, rupturas, correlación serial y estacionariedad. Las series macroeconómicas anuales suelen moverse conjuntamente a lo largo del tiempo. En consecuencia, un R² elevado puede reflejar movimientos compartidos sin establecer una relación estructural convincente.

Utiliza un comando de VI para la estimación final

La siguiente plantilla de Stata estima la demanda utilizando un desplazador de costos. Sustituye los nombres de las variables por las columnas correspondientes de tu base de datos. Aquí, quantity representa Q, price es el precio endógeno P, income son los ingresos exógenos Y y cost es el costo excluido C.

* Demanda: la cantidad depende del precio y los ingresos
* El costo instrumenta el precio; los ingresos también forman parte de los instrumentos
ivregress 2sls quantity income (price = cost), vce(robust) first

* Examina los diagnósticos de la primera etapa
estat firststage

* Ejemplo sobreidentificado con un segundo instrumento justificable
ivregress 2sls quantity income (price = cost weather), vce(robust)
estat overid

Incluye weather únicamente si la exclusión de la ecuación de demanda es defendible. Añadir instrumentos solo para obtener una prueba de sobreidentificación puede debilitar el diseño de la investigación. Además, los errores estándar robustos tratan la heterocedasticidad, no la invalidez de los instrumentos.

Para observaciones dependientes, elige un estimador de varianza que refleje el proceso muestral. Los datos de mercado agrupados pueden requerir errores estándar por conglomerados, mientras que las series temporales pueden necesitar inferencia que tenga en cuenta la autocorrelación. El manual de ivregress explica las opciones disponibles.

Comprende qué pueden establecer las pruebas de sobreidentificación

Las pruebas de sobreidentificación examinan si las restricciones adicionales de momentos entran en conflicto con el modelo ajustado. Un rechazo señala un problema en algún punto de los supuestos conjuntos. No identifica de manera única qué instrumento causó el problema.

Por el contrario, no rechazar la hipótesis nula no constituye un certificado de exogeneidad. Una potencia limitada y las infracciones compartidas pueden ocultar errores de especificación. Por tanto, combina la evidencia estadística con conocimiento institucional y análisis de sensibilidad.

Un ejemplo real de investigación más allá de la oferta y la demanda

Las variables instrumentales también aparecen en investigaciones sobre escolaridad e ingresos laborales. El estudio de Angrist y Krueger sobre asistencia escolar obligatoria utiliza el trimestre de nacimiento para aprovechar la interacción entre las reglas de ingreso escolar y los requisitos de asistencia obligatoria. El documento de trabajo apareció en 1990, seguido del artículo académico en 1991.

Esta aplicación ilustra la necesidad de un mecanismo institucional, en lugar de un predictor arbitrario. Sin embargo, un instrumento que respalda un diseño educativo concreto no funciona automáticamente para otra población, período o resultado. El argumento de identificación debe acompañar a la estimación.

Errores comunes e interpretaciones mejores

Por qué el R² de VI puede ser negativo

MCO minimiza la suma de cuadrados de los residuos estructurales respecto a los regresores de su ecuación. En cambio, VI utiliza condiciones de momentos de los instrumentos, por lo que no necesita minimizar esa misma suma. En consecuencia, el conocido R² centrado puede ser inferior a cero.

Un R² negativo de VI no demuestra por sí solo que el cálculo haya fallado. Asimismo, un R² elevado de VI no establece una identificación correcta. La explicación de Stata sobre el R² negativo o ausente de VI presenta el álgebra correspondiente.

Por qué los errores estándar necesitan residuos estructurales

Después de calcular los coeficientes de VI, construye los residuos utilizando los regresores estructurales reales: û = y − Xβ̂. No sustituyas X por la matriz ajustada de la primera etapa al construir esos residuos estructurales. La diferencia importa para estimar la varianza.

Por su parte, la regresión con valores ajustados produce el mismo vector de coeficientes de 2SLS en el esquema habitual. Sin embargo, su cálculo predeterminado de varianza por MCO responde a una pregunta estadística diferente. Esta distinción explica por qué reproducir manualmente las estimaciones puntuales no completa un análisis de VI.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una variable endógena y un regresor endógeno?

Una variable endógena es un resultado determinado dentro del sistema. En cambio, un regresor endógeno aparece en el lado derecho de una ecuación particular y se correlaciona con la perturbación de esa ecuación. Así, la clasificación dentro del sistema y el problema de estimación específico de la ecuación están estrechamente relacionados, pero merecen atención separada.

¿Puede MCO estimar una forma reducida?

Sí, siempre que las variables exógenas incluidas satisfagan los supuestos pertinentes de ortogonalidad y regularidad. Los errores de las formas reducidas combinan choques estructurales, por lo que esos supuestos también deben cumplirse para la combinación. Ajustar la inferencia de la forma reducida a la heterocedasticidad o la dependencia afecta a la inferencia, no a la identificación.

¿Estima 2SLS todo el sistema de una vez?

El 2SLS convencional estima una ecuación estructural utilizando un conjunto de instrumentos. Puedes aplicarlo por separado a varias ecuaciones identificadas. Los estimadores de sistemas pueden aprovechar información adicional entre ecuaciones, pero también dependen de supuestos adicionales.

¿Es 2SLS siempre mejor que MCO?

No. Si MCO es consistente y eficiente bajo los supuestos pertinentes, VI puede sacrificar precisión innecesariamente. En cambio, VI válido puede tratar la endogeneidad que vuelve inconsistente a MCO. Los instrumentos débiles o inválidos pueden hacer poco fiable un análisis de VI.

¿Puede una ecuación exactamente identificada utilizar una prueba de sobreidentificación?

No existe una prueba convencional de sobreidentificación cuando no hay instrumentos excedentes. En ese caso, el número de restricciones de sobreidentificación es cero. No obstante, todavía puedes examinar la información de la primera etapa, el argumento económico de exclusión y la sensibilidad a la especificación.

¿Un instrumento estadísticamente no significativo demuestra falta de identificación?

No. La identificación poblacional y la precisión muestral son conceptos diferentes. Sin embargo, una relación muestral débil puede advertir que la inferencia convencional de VI no es fiable, incluso cuando el coeficiente poblacional es distinto de cero.

¿Cómo debe informarse la incertidumbre con instrumentos débiles?

Considera conjuntos de confianza y pruebas diseñados para seguir siendo válidos bajo identificación débil, junto con la estimación puntual y los diagnósticos de primera etapa. Los enfoques de Anderson–Rubin y de razón de verosimilitud condicional son ejemplos importantes bajo sus respectivos supuestos. Consulta la documentación de Stata sobre inferencia con instrumentos débiles para una visión general de la implementación.

¿Son actuales las estimaciones históricas de esta guía?

No. Los valores agrícolas proceden del ejemplo didáctico histórico de las páginas proporcionadas. Por su parte, los demás ejercicios numéricos utilizan modelos explícitamente construidos. Ninguno de estos conjuntos debe servir como pronóstico agrícola actual o estimación para política económica.

Conclusión: identifica la variación antes de estimar el efecto

Los modelos de ecuaciones simultáneas convierten una idea económica importante en un problema de estimación: los resultados pueden influirse mutuamente. En consecuencia, la asociación observada entre precio y cantidad puede combinar varias relaciones de comportamiento.

Empieza por distinguir los efectos estructurales de las respuestas de forma reducida. Después, justifica las exclusiones, comprueba las condiciones de orden y rango y evalúa la fortaleza de los instrumentos. Finalmente, estima la ecuación con inferencia de VI adecuada e interpreta el resultado en su contexto económico.

El hábito más útil es preguntar qué fuente de variación identifica el coeficiente. Una fórmula correcta, un R² elevado o una estimación significativa no pueden sustituir esa respuesta.

Fuentes y metodología

Esta guía ofrece explicaciones, derivaciones y ejercicios construidos originalmente a partir de los temas de las páginas 228–241 del capítulo proporcionado. Los coeficientes históricos aparecen únicamente en la sección de revisión identificada. Las siguientes fuentes primarias o académicas respaldan las referencias metodológicas a lo largo del artículo.

1. Shalabh, IIT Kanpur. Simultaneous Equations Models. Apuntes académicos sobre sistemas estructurales e identificación.
2. Econometrics, alojado por SUNY. Chapter 15: Systems of Equations. Explicación didáctica de la retroalimentación y las formas reducidas.
3. Stata. Manual de referencia de ivregress. Documentación oficial de los estimadores y la sintaxis.
4. Stata. Preguntas frecuentes sobre regresión por mínimos cuadrados en dos etapas. Especificación de la primera etapa y errores estándar.
5. Stock, J. H., y Yogo, M. Testing for Weak Instruments in Linear IV Regression. NBER Technical Working Paper 284, 2002; publicación posterior como capítulo en 2005.
6. Federal Reserve Bank of New York. A Robust Test for Weak Instruments with Multiple Endogenous Regressors. Staff Report 1020.
7. Stata. Inferencia robusta a instrumentos débiles. Visión general oficial de la implementación.
8. Stata. R² negativo y ausente en 2SLS/VI. Interpretación de la calidad del ajuste de VI.
9. Angrist, J. D., y Krueger, A. B. Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings? NBER Working Paper 3572, 1990.
10. Fotografías proporcionadas por el usuario. Capítulo 10, Simultaneous-Equations Methods, páginas 228–241. Fuente de la revisión del ejemplo didáctico histórico; no se proporcionaron los detalles bibliográficos de la edición.

Nota de cálculo: los 20 ejercicios utilizan álgebra y supuestos explícitamente declarados. Los cocientes entre pendientes históricas, las comparaciones porcentuales, los límites de redondeo y la comprobación F ≈ t² son cálculos a partir de los valores mostrados, no estadísticas oficiales recién consultadas. El documento utiliza fórmulas HTML nativas y gráficos vectoriales incorporados, sin depender de JavaScript externo ni de MathJax.