Diagnóstico de regresión: 12 ejercicios resueltos

Qué identifica realmente el diagnóstico de regresión

Una ecuación de regresión describe una relación condicional entre una variable dependiente y variables explicativas. Sin embargo, distintos problemas afectan distintas partes del análisis. La colinealidad se refiere a la información de los predictores; la heterocedasticidad, a la varianza de los errores; la autocorrelación, a la dependencia entre observaciones; y el error de medición, a la calidad de las variables registradas.

El sesgo, la precisión y el ajuste son cuestiones diferentes

Bajo el supuesto apropiado de media condicional cero, la heterocedasticidad por sí sola no sesga los coeficientes de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). No obstante, modifica su varianza y compromete los errores estándar homocedásticos habituales. Del mismo modo, la correlación serial no implica automáticamente sesgo en los coeficientes bajo exogeneidad estricta, aunque suele aparecer junto con dinámicas omitidas que sí generan sesgo.

En cambio, el error clásico de medición en una variable explicativa suele generar endogeneidad. La multicolinealidad elevada introduce otro problema: los datos pueden predecir bien la variable dependiente, pero aportar poca información sobre las pendientes por separado. Por ello, ningún diagnóstico aislado puede validar todo el modelo.

Lee las unidades antes de interpretar los coeficientes

Las tablas de familias y empresas utilizan miles de dólares, mientras que las tablas macroeconómicas históricas y de inventarios utilizan miles de millones de dólares. A lo largo de este artículo, los cálculos conservan las unidades numéricas de esas tablas. Así, un intercepto de 21.637 en el ejemplo de las empresas equivale aproximadamente a 21.637 dólares, no a 21.637 miles de dólares. En las fórmulas, tablas y el código, conservamos la notación numérica del original: punto decimal y, cuando aparece, coma para separar los miles.

Además, la variable de tasa de interés utiliza puntos porcentuales. Un cambio de 5 a 6 representa un aumento de un punto porcentual; no se trata de un aumento proporcional del 1%. Explicitar esta distinción evita un error habitual de interpretación.

Diagnóstico de regresión para multicolinealidad: ejercicios 1–3

Ejercicio 1: identifica una dependencia lineal exacta

Considera un modelo de consumo que incluye los ingresos disponibles actuales, los del período anterior y su variación. El ejercicio 9.16 proporcionado utiliza los tres términos. Sin embargo, la variación ya equivale a los ingresos actuales menos los rezagados.

Primero, sustituye la segunda expresión en la primera. Después, combina los coeficientes de las dos variables de ingresos distintas.

Solo dos combinaciones de los tres coeficientes de ingresos afectan al consumo ajustado. Por lo tanto, infinitas ternas generan los mismos valores ajustados. Para cualquier número a, sustituir las tres pendientes por β₁ − a, β₂ + a y β₃ + a mantiene la predicción sin cambios.

Solución: elimina un regresor redundante o adopta una restricción económicamente justificada. Por ejemplo, estima los ingresos actuales y rezagados sin el término de variación. Estandarizar los predictores no resuelve esta identidad exacta, y recopilar más observaciones con la misma identidad tampoco la resuelve.

Ejercicio 2: explica un R² elevado con estadísticos t individuales débiles

El siguiente ejemplo utiliza datos hipotéticos de consumo C, ingresos disponibles Y_d y patrimonio W de 15 familias. Primero, estima el consumo en función de ambos predictores. El recálculo con la tabla visible produce la siguiente ecuación.

El modelo conjunto presenta un estadístico t de los ingresos de aproximadamente 1.943 y un estadístico t del patrimonio de −0.834. En cambio, el estadístico t del modelo con solo ingresos es de aproximadamente 46.252. Añadir patrimonio, por tanto, contribuye muy poco al ajuste, pero reduce considerablemente la precisión de la estimación separada de los ingresos.

Un coeficiente negativo del patrimonio no demuestra que el patrimonio reduzca el consumo. En cambio, describe la relación estimada manteniendo constantes los ingresos en una muestra con casi ninguna variación independiente entre esos predictores. Esta comparación cuenta con poco respaldo en los datos.

La explicación de Penn State sobre los factores de inflación de la varianza presenta el diagnóstico pertinente: realiza una regresión de cada predictor sobre los demás y calcula el VIF a partir de ese R² auxiliar. Con exactamente dos predictores y un intercepto, el cálculo se reduce al cuadrado de su correlación.

Para dimensionar el efecto, la raíz cuadrada de 1,695.43 es aproximadamente 41.18. Según la fórmula habitual de la varianza, este es el factor de inflación del error estándar respecto de un diseño comparable con predictores ortogonales, la misma varianza del error y la misma variación de los predictores. Sin embargo, no equivale a la razón efectiva entre los errores estándar de los dos modelos ajustados, porque sus varianzas estimadas del error también difieren.

Ejercicio 3: impón una restricción defendible a los coeficientes

Supón que el razonamiento económico respalda β₂ = 0.25β₁ en la ecuación del consumo. En ese caso, el modelo con dos predictores se reduce a un único predictor compuesto. Esta es la restricción del ejercicio 9.18 proporcionado.

El uso de las 15 observaciones produce la relación ajustada que aparece a continuación. En consecuencia, los coeficientes originales de los ingresos y del patrimonio se obtienen directamente de la restricción.

El modelo restringido conserva casi todo el poder explicativo del modelo sin restricciones. No obstante, la restricción aporta información que la propia muestra no puede ofrecer de manera fiable. Una restricción incorrecta puede crear una precisión engañosa; por eso, explica su fundamento antes de adoptarla.

Lección práctica: combinar ingresos y patrimonio aquí cambia la pregunta al efecto de un índice específico de ingresos y patrimonio. Esto no revela dos efectos económicos identificados de forma independiente. Por lo tanto, presenta la restricción junto a los coeficientes, en lugar de ocultarla en una nota al pie.

Diagnóstico de regresión para heterocedasticidad: ejercicios 4–7

Ejercicio 4: calcula una prueba de Goldfeld–Quandt

El primer conjunto de empresas contiene 35 observaciones de formación de capital Y y ventas X. Cada uno de los cinco niveles de ventas reúne siete empresas. Para investigar el aumento de la varianza de los errores, ordena las observaciones por ventas, conserva las primeras 14 y las últimas 14, y excluye las siete centrales.

Después, ajusta una regresión separada con intercepto y pendiente en cada grupo conservado. La ecuación de la muestra completa y las ecuaciones de los dos subgrupos son:

Aquí, RSS significa suma de cuadrados de los residuos. Algunos libros utilizan ESS para la suma de cuadrados de los errores, mientras que otros utilizan ESS para la suma de cuadrados explicada. Por lo tanto, define la abreviatura antes de comparar resultados.

Bajo los supuestos clásicos de errores normales, observaciones independientes y un modelo correctamente especificado, compara esta razón con una distribución F con 12 y 12 grados de libertad. El valor crítico unilateral al 5% es aproximadamente 2.68664, y el valor p es alrededor de 0.000948. Así, la prueba rechaza la hipótesis nula de igualdad de varianzas.

La documentación de la prueba de Goldfeld–Quandt en statsmodels describe la prueba con dos submuestras y sus opciones de ordenación, división y dirección de la hipótesis alternativa. En la práctica, indica qué variable determina la ordenación y si la hipótesis alternativa supone una varianza creciente.

Además, las pendientes de ambos grupos difieren considerablemente. Este patrón sugiere revisar la función de la media, además de la varianza de los errores. Una prueba de varianza no demuestra que una sola recta represente correctamente la relación.

Ejercicio 5: utiliza mínimos cuadrados ponderados cuando la varianza sigue X²

Ahora supón Var(u_i | X_i) = σ²X_i² y X distinto de cero. Dividir toda la ecuación por X vuelve constante la varianza del error transformado bajo este supuesto. Así, aplicar MCO a la ecuación transformada equivale a mínimos cuadrados ponderados con pesos 1/X².

Observa la posición de los coeficientes: el intercepto transformado es la pendiente original. Por otro lado, el coeficiente de 1/X es el intercepto original. El recálculo produce:

Por ejemplo, el peso de una empresa con ventas de 100 es nueve veces el peso de una empresa con ventas de 300. Esto se obtiene de (300/100)² = 9. Sin embargo, esta ponderación relativa solo tiene sentido si la relación de varianza supuesta es razonable.

La guía del NIST sobre mínimos cuadrados ponderados explica por qué la ponderación por el inverso de la varianza puede mejorar la precisión y por qué los pesos inciertos requieren cuidado. Por lo tanto, examina los residuos transformados y considera la sensibilidad a modelos alternativos de varianza.

El R² transformado es aproximadamente 0.98177. No obstante, describe la variación de Y/X, no de Y. Compararlo directamente con el R² original de 0.93616 mezclaría variables dependientes y objetivos de ajuste distintos.

Ejercicio 6: prueba los cambios de varianza en una regresión múltiple

El segundo conjunto de empresas añade un índice de productividad X₂ a las ventas X₁. Primero, estima el modelo completo con 35 observaciones. Después, ordena por productividad y forma grupos de 14 observaciones en cada extremo, excluyendo nuevamente siete observaciones.

Esta vez, 11 grados de libertad es correcto, porque cada modelo de subgrupo estima tres parámetros. En consecuencia, la prueba clásica rechaza la igualdad de varianzas al 5%, pero no al 1%. El resultado está más cerca del umbral de rechazo que en el primer ejemplo de las empresas; por tanto, evita tratar ambas evidencias como igualmente fuertes.

La regresión del grupo de menor productividad presenta una pendiente negativa para la productividad, mientras que la del grupo de mayor productividad presenta una pendiente positiva. Sin embargo, ambas estimaciones proceden de intervalos pequeños y restringidos. Antes de atribuir un significado económico a la diferencia de signo, examina la colinealidad, la forma funcional y la variación limitada dentro de cada grupo.

Ejercicio 7: transforma correctamente una regresión múltiple

Supón que la varianza del error es proporcional a X₂². Después, divide cada término por X₂, incluidos el intercepto y el error. La ecuación resultante contiene una constante, porque X₂/X₂ equivale a uno.

El modelo transformado calculado de forma independiente es:

Los cambios en los coeficientes son modestos en este conjunto de datos. No obstante, su pequeño tamaño no demuestra que la corrección de la varianza fuera innecesaria. Las estimaciones puntuales y las medidas de incertidumbre responden a preguntas distintas.

Comprobación de la implementación: ajustar Y/X₂ únicamente en función de X₁/X₂ omite el intercepto original transformado. Del mismo modo, utilizar pesos 1/X₂ en lugar de 1/X₂² aplica otro supuesto de varianza. Ambos errores pueden producir resultados plausibles mientras resuelven el problema equivocado.

Diagnóstico de regresión para autocorrelación: ejercicios 8–10

Ejercicio 8: detecta persistencia en los residuos del modelo de inversión

El ejemplo histórico contiene 18 observaciones anuales de 1982 a 1999. La inversión Y y el PIB X₁ utilizan miles de millones de dólares, mientras que X₂ registra una tasa de interés de papel comercial. Estos valores reproducen la tabla histórica proporcionada; no representan un conjunto macroeconómico obtenido mediante una consulta reciente.

Primero, realiza una regresión de la inversión únicamente sobre el PIB. El ajuste resultante parece sólido, pero la dependencia de los residuos cuenta otra historia.

El estadístico de Durbin–Watson mide los cambios al cuadrado entre residuos sucesivos respecto de la suma de sus cuadrados. Según la definición de statsmodels, su aproximación conocida es d ≈ 2(1 − r), donde r resume la correlación de los residuos con un rezago de un período. Por lo tanto, un valor cercano a cero señala una fuerte persistencia positiva.

La respuesta proporcionada clasifica el resultado inicial como significativo tanto al 5% como al 1%, utilizando el enfoque clásico de límites. Sin embargo, una decisión formal exige los límites y supuestos apropiados, no una regla universal de «d por debajo de dos». Las variables dependientes rezagadas y las transformaciones estimadas requieren especial atención.

Después, estima la ecuación auxiliar con la inversión rezagada y el PIB actual y rezagado. Esto reproduce de cerca la estimación proporcionada del parámetro de persistencia.

Bajo un modelo de errores AR(1), define Y*_t = Y_t − ρY_t−1 y X*_t = X_t − ρX_t−1. Después, ajusta la regresión transformada. Para un cálculo transparente en una etapa, utiliza ρ = 0.88 y excluye la primera observación.

Además, el intercepto transformado equivale a (1 − ρ)β₀ bajo la especificación AR(1). No es el intercepto original en niveles. La regresión auxiliar sin restricciones tampoco impone todas las restricciones de los coeficientes del modelo estructural AR(1); por tanto, trata su coeficiente rezagado como una estimación preliminar, no como una validación completa del modelo.

Ejercicio 9: añade la tasa de interés y reevalúa los residuos

Añadir una variable explicativa puede mejorar el R² sin corregir la dependencia de los residuos. Aquí, la regresión con PIB y tasa de interés produce:

El coeficiente positivo de la tasa de interés describe una asociación condicional en esta pequeña muestra histórica. Sin embargo, no demuestra que unos costos de financiación mayores causen más inversión. Las tendencias comunes, la simultaneidad, las expectativas omitidas y la persistencia de los residuos complican esa interpretación.

Una regresión auxiliar con inversión rezagada, PIB actual y rezagado, y tasas de interés actuales y rezagadas produce ρ ≈ 0.939624. Al utilizar el valor impreso redondeado de 0.94, el modelo transformado se convierte en:

Este cálculo reproduce de cerca los coeficientes transformados proporcionados. No obstante, el estadístico t de la tasa de interés es aproximadamente −0.140, lo que ofrece poca evidencia de una asociación parcial distinta de cero en ese modelo. La dependencia de los residuos también sigue siendo motivo de preocupación.

El ejercicio impreso indica rechazo al 5% y un resultado inconcluso al 1% en su procedimiento de límites. En el trabajo aplicado, documenta la convención de la prueba y considera una prueba adecuada de los residuos después de la estimación. El procedimiento de Breusch–Godfrey ofrece un enfoque mediante regresión auxiliar para probar la correlación serial en los órdenes de rezago elegidos, aunque 17 observaciones transformadas dejan poco espacio para una estructura amplia de rezagos.

Ejercicio 10: estima un modelo en primeras diferencias

Cuando el parámetro de persistencia supuesto equivale a uno, la cuasidiferenciación se convierte en la primera diferencia habitual. Por lo tanto, define cada variación como la observación actual menos la anterior. Los 18 niveles anuales producen 17 variaciones anuales.

Por ejemplo, la primera variación de la inversión equivale a 615.6 − 523.3 = 92.3 miles de millones de dólares. La variación correspondiente del PIB equivale a 3688.8 − 3315.6 = 373.2 miles de millones de dólares. Mientras tanto, el cambio de la tasa equivale a 8.87 − 11.84 = −2.97 puntos porcentuales.

El coeficiente de la variación del PIB es aproximadamente 0.4493. Así, una variación anual del PIB superior en 1.000 millones de dólares corresponde a una variación de la inversión superior en unos 449 millones de dólares, manteniendo constante el cambio de la tasa en esta ecuación ajustada. Esta afirmación describe una asociación entre variaciones, no la relación original en niveles.

La respuesta impresa indica que no rechaza la hipótesis de ausencia de autocorrelación en los niveles indicados. Sin embargo, no rechazar no demuestra independencia, especialmente en una muestra tan pequeña. Un valor de ρ cercano a uno puede motivar la investigación de diferencias, pero no establece por sí solo una raíz unitaria ni descarta la cointegración.

Antes de utilizar un modelo en diferencias para predecir, examina las propiedades de las series temporales y la interpretación económica. Si existe una relación estable a largo plazo, un modelo de corrección de errores puede conservar información que la diferenciación pura descarta. Por otro lado, diferenciar un proceso que ya es estacionario puede introducir dependencia de media móvil innecesaria.

Diagnóstico de regresión para error de medición: ejercicios 11–12

Ejercicio 11: compara medidas precisas y ruidosas de envíos

El ejemplo de inventarios contiene 16 observaciones anuales de 1983 a 1998. Aquí, Y representa los inventarios, X representa los envíos medidos con precisión en el ejercicio y X′ representa una medida hipotética de los envíos con error. Las tres series utilizan miles de millones de dólares.

Primero, ajusta los inventarios en función de X. Después, sustituye X por X′ y compara los resultados.

La pendiente con la medida ruidosa es alrededor de un 20.88% menor que la pendiente de referencia. No obstante, su R² es aproximadamente 0.04285 mayor, o 4.29 puntos porcentuales. Por tanto, este conjunto de datos ofrece un contraejemplo concreto a la idea de que un R² mayor confirma una mejor medición.

Bajo error clásico de medición, escribe X′ = X + v, donde el error de medición tiene media cero y no está correlacionado con X ni con el error estructural. En una regresión simple, la pendiente en muestras grandes sigue la relación de atenuación que aparece a continuación.

La fracción se encuentra entre cero y uno cuando ambas varianzas son positivas. En consecuencia, la pendiente se acerca a cero bajo estos supuestos. El error no clásico de medición puede producir otras direcciones de sesgo, y una sola comparación observada de pendientes no verifica los supuestos clásicos.

Además, el coeficiente de X medido con precisión es una referencia muestral de MCO, no una verdad poblacional conocida. Por lo tanto, «más cercano a la referencia» y «consistente para el efecto causal» son afirmaciones distintas. El capítulo sobre variables instrumentales de Introduction to Econometrics with R explica por qué el error de medición puede exigir una estrategia de identificación que va más allá de añadir regresores.

Continuación del ejercicio 11: distingue un regresor rezagado de un instrumento

La respuesta proporcionada utiliza X′ rezagado e indica aproximadamente −77.82 + 0.88X′_t−1. Realizar una regresión de los inventarios actuales directamente sobre los envíos ruidosos rezagados reproduce esa respuesta:

Sin embargo, esto cambia la variable explicativa. Un estimador de variables instrumentales (VI) exactamente identificado conserva X′ actual como regresor y utiliza X′ rezagado como instrumento Z. Con un intercepto, la pendiente es una razón de covarianzas.

Las 15 observaciones alineadas de 1984 a 1998 producen una ecuación estructural diferente:

Así, la pendiente de 0.8751 de la regresión rezagada no es la pendiente de 0.8279 mediante VI. El primer denominador utiliza la varianza del instrumento; el segundo utiliza su covarianza con el regresor endógeno actual. Esta distinción sigue siendo esencial incluso cuando los números parecen similares.

Para que la interpretación mediante VI funcione, el instrumento debe predecir X′ actual y permanecer no correlacionado con el error estructural compuesto. Un rezago no cumple automáticamente estos requisitos. El error de medición persistente, los choques estructurales correlacionados serialmente y las dinámicas omitidas pueden invalidarlo.

Por tanto, el cálculo anterior demuestra el procedimiento, sin establecer una estimación causal válida. Una aplicación defendible explicaría la relevancia, la exclusión y la exogeneidad del instrumento antes de interpretar el coeficiente. Comparar todos los estimadores en la misma muestra también eliminaría el cambio de muestra como factor de confusión.

Ejercicio 12: invierte una regresión inversa con cuidado

El último ejercicio proporcionado realiza una regresión de X′ sobre Y. El recálculo produce la siguiente relación:

Despejar Y algebraicamente en esta recta ajustada produce un intercepto de −a/b y una pendiente de 1/b. Por lo tanto, el uso de los coeficientes sin redondear da como resultado:

El intercepto impreso de aproximadamente −91.43 se obtiene al dividir los valores redondeados 101.49 y 1.11. En consecuencia, esta discrepancia refleja principalmente un redondeo prematuro. Conserva la precisión completa hasta la presentación final para evitar este problema.

Sin embargo, la cuestión más importante es la interpretación. Invertir la dirección de una regresión y tomar el inverso de su pendiente generalmente no elimina el sesgo de errores en las variables cuando la variable dependiente original contiene ruido estructural. Para entender por qué, considera un modelo poblacional centrado con X, u y v mutuamente no correlacionados.

A menos que Var(u) sea cero, el inverso de la pendiente de la regresión inversa generalmente difiere de β. Para un β positivo, el término adicional la eleva. Por lo tanto, el error de medición únicamente en X no basta por sí solo para justificar la afirmación de consistencia de la regresión inversa.

Un contexto especial de calibración, con una relación subyacente exacta y ruido únicamente en X, puede respaldar el método. Las regresiones económicas habituales suelen incluir variación adicional no explicada; por eso, esa condición más fuerte necesita justificación. La siguiente identidad de muestra finita ofrece otra comprobación útil:

Esta identidad se obtiene directamente de las dos fórmulas de covarianza para MCO simple con interceptos. En otras palabras, la diferencia entre la pendiente original y la invertida está matemáticamente ligada al ajuste imperfecto. No demuestra de forma independiente que alguno de los estimadores haya resuelto el error de medición.

Auditoría numérica de las respuestas proporcionadas

La siguiente comparación separa los resultados reproducidos de las discrepancias y salvedades. Todos los recálculos utilizan las observaciones visibles, un intercepto cuando se especifica y precisión numérica completa antes del redondeo. Por lo tanto, los lectores pueden relacionar cada diferencia con un conjunto de datos o una convención de estimación explícita.

Por qué importan las discrepancias más allá de los ejercicios

Una pequeña diferencia de redondeo suele cambiar la presentación, no la conclusión. En cambio, sustituir VI por una regresión con una variable rezagada cambia el parámetro objetivo y los supuestos. Distinguir estos casos evita que una solución numérica se convierta accidentalmente en una guía del método equivocado.

Del mismo modo, corregir un error de grados de libertad puede mantener intacto un rechazo contundente. Sin embargo, ese mismo error podría cambiar un resultado cercano al umbral en otro conjunto de datos. Por lo tanto, reconstruye el recuento de parámetros en lugar de copiar un valor crítico de un ejemplo cercano.

Un procedimiento práctico para un diagnóstico de regresión fiable

Empieza por la pregunta y los datos

Primero, indica si el modelo pretende describir asociaciones, predecir resultados o estimar un efecto causal. Después, verifica las unidades, la alineación temporal, los valores ausentes y las transformaciones. Un modelo puede funcionar bien en una tarea y fallar en otra.

Para datos económicos históricos, registra también la versión de publicación. La documentación de ALFRED, de la Reserva Federal explica que los datos archivados conservan las publicaciones originales y las revisiones posteriores. En consecuencia, sustituir una tabla antigua por las observaciones actuales de FRED puede cambiar una reproducción, incluso cuando los nombres de las variables parecen idénticos.

Examina el diseño y los residuos

Después, comprueba las identidades exactas, los predictores duplicados y las relaciones casi lineales. Representa los residuos frente a los valores ajustados y los predictores pertinentes. Para series temporales, también muéstralos en orden cronológico; una ordenación arbitraria de las filas no tiene una interpretación temporal significativa.

Utiliza los VIF para investigar la precisión de los coeficientes, pruebas de varianza para investigar cambios en la dispersión y pruebas de correlación serial para investigar dependencia. No obstante, cada prueba tiene supuestos y potencia limitada. Un resultado no significativo en una muestra de 15 o 18 observaciones exige un lenguaje prudente.

Elige una corrección adecuada al problema

Las estimaciones de covarianza robustas a la heterocedasticidad ajustan la incertidumbre estimada, manteniendo los coeficientes de MCO sin cambios. Las estimaciones de covarianza HAC amplían esta idea a ciertas formas de dependencia serial. La documentación de covarianza robusta de statsmodels enumera las opciones HC0–HC3 y HAC, incluidas las decisiones necesarias para los cálculos con series temporales.

En comparación, los mínimos cuadrados ponderados (MCP) modifican las estimaciones de los coeficientes mediante pesos. Las especificaciones dinámicas cambian la media condicional, mientras que los instrumentos abordan un problema específico de endogeneidad bajo supuestos adicionales. Por lo tanto, ninguna de estas herramientas funciona como una corrección universal.

Presenta el modelo y sus limitaciones juntos

Por último, indica el tamaño de la muestra, las unidades de las variables, la ecuación, el método de estimación, el estimador de la incertidumbre y los resultados de los diagnósticos. Explica si los modelos transformados conservan o excluyen la primera observación. Al utilizar pesos, declara la fórmula exacta y su fundamento económico o de medición.

Un informe útil podría decir: «Los residuos originales presentan una fuerte persistencia positiva; por eso, estimamos una transformación AR(1) especificada y examinamos la dependencia restante». Esa frase explica la motivación y la comprobación posterior. Por otro lado, «corregimos la regresión» deja a los lectores sin saber qué procedimiento se utilizó realmente.

Tablas completas para una reproducción independiente

Las siguientes tablas transcriben las páginas de los ejercicios proporcionados. Aquí, el ejemplo de las familias utiliza explícitamente observaciones hipotéticas, y la serie de envíos con ruido también es hipotética. Aunque las tablas históricas citan fuentes estadísticas federales, este artículo utiliza la versión impresa, sin afirmar que realizó una extracción reciente de esas instituciones.

Consumo, ingresos y patrimonio de las familias

Formación de capital por grupo de ventas

Cada valor de la columna de formación de capital representa una empresa distinta. Por lo tanto, las cinco filas contienen 35 observaciones en total.

Formación de capital, ventas y productividad

Inversión, PIB y tasa de papel comercial en Estados Unidos

Inventarios y envíos de bienes duraderos en Estados Unidos

Reproduce los principales diagnósticos de regresión en Python

El siguiente script compacto utiliza NumPy y SciPy para reproducir algunas de las comprobaciones más importantes. Incluye sus propias matrices de entrada, por lo que no es necesario descargar datos. Además, los cálculos conservan la precisión completa hasta mostrar los resultados.

import numpy as np
from scipy.stats import f

def ols(y, x):
    y = np.asarray(y, dtype=float)
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    if x.ndim == 1:
        x = x[:, None]
    design = np.column_stack((np.ones(len(y)), x))
    b = np.linalg.lstsq(design, y, rcond=None)[0]
    e = y - design @ b
    rss = e @ e
    r2 = 1 - rss / ((y - y.mean()) @ (y - y.mean()))
    return b, e, rss, r2

# Colinealidad entre los datos familiares
income = np.array([36,12,16,18,17,14,20,23,15,18,50,19,37,22,19])
wealth = np.array([144,47,63,70,67,52,79,90,58,70,204,76,149,86,76])
corr = np.corrcoef(income, wealth)[0, 1]
print("Correlación, VIF:", corr, 1 / (1 - corr**2))

# Goldfeld–Quandt y MCP
sales = np.repeat([100.,150.,200.,250.,300.], 7)
capital = np.array([
    30.2,30.5,30.5,30.7,30.9,31.2,31.2,
    31.5,31.5,31.9,32.3,32.8,33.4,33.4,
    35.1,35.7,36.3,36.9,37.4,37.4,37.8,
    38.4,39.1,40.2,40.8,42.1,42.9,43.2,
    44.3,44.9,45.2,45.9,46.5,47.7,48.5])
low = ols(capital[:14], sales[:14])
high = ols(capital[-14:], sales[-14:])
f_stat = high[2] / low[2]
print("GQ F, p, valor crítico:", f_stat, f.sf(f_stat,12,12), f.ppf(.95,12,12))
print("Intercepto transformado, coeficiente de 1/X:",
      ols(capital/sales, 1/sales)[0])

# Regresión directa con rezago frente a VI efectivo
inventories = np.array([85.48,97.94,101.28,103.24,108.13,118.46,
    123.16,123.78,121.,128.49,135.89,149.13,160.59,167.01,179.89,189.67])
noisy = np.array([205.21,207.10,217.16,228.78,228.06,225.49,
    218.77,213.90,222.48,250.22,263.72,274.88,282.01,288.99,301.30,311.24])
outcome, current, instrument = inventories[1:], noisy[1:], noisy[:-1]
print("MCO directo con rezago:", ols(outcome, instrument)[0])
zc = instrument - instrument.mean()
beta_iv = (zc @ (outcome-outcome.mean())) / (zc @ (current-current.mean()))
alpha_iv = outcome.mean() - beta_iv*current.mean()
print("Intercepto mediante VI y pendiente de X actual:", alpha_iv, beta_iv)
reverse_b = ols(noisy, inventories)[0]
print("Ajuste inverso invertido:", -reverse_b[0]/reverse_b[1], 1/reverse_b[1])

Para reproducir las otras ecuaciones, introduce las columnas correspondientes de las tablas y llama a la misma función de MCO. En el cálculo AR(1), forma y[1:] − ρ × y[:-1] y aplica la misma transformación a cada regresor no constante. Después, incluye un intercepto en la regresión transformada y registra la exclusión de la primera observación.

Preguntas frecuentes sobre diagnóstico de regresión

¿Una regresión con R² superior a 0.99 puede seguir siendo poco fiable?

Sí. El ejemplo de las familias alcanza R² = 0.99429, mientras que los ingresos y el patrimonio siguen siendo casi indistinguibles estadísticamente. Por lo tanto, un ajuste general sólido no establece efectos individuales precisos, estimaciones correctas de la incertidumbre ni causalidad.

¿La multicolinealidad sesga automáticamente MCO?

No. La colinealidad elevada, pero imperfecta, afecta principalmente a la precisión bajo los supuestos habituales de exogeneidad. La colinealidad perfecta crea otro problema, porque los coeficientes sin restricciones no tienen una solución única.

¿Debo eliminar siempre la variable con el VIF más alto?

No. Eliminar un control necesario puede introducir sesgo por variable omitida o cambiar la pregunta de investigación. En cambio, evalúa la finalidad de la variable, la información disponible en los datos y si lo más importante es predecir o interpretar los coeficientes por separado.

¿Los errores estándar robustos corrigen coeficientes incorrectos?

No. Modifican la matriz de covarianza estimada, no las estimaciones puntuales de MCO. En consecuencia, no eliminan el sesgo de medición, la causalidad inversa ni una media condicional mal especificada.

¿Un Durbin–Watson cercano a dos demuestra independencia de los errores?

No. El estadístico se centra en un aspecto específico de la dependencia serial. Además, las muestras pequeñas y los supuestos específicos del modelo limitan lo que un valor cercano a dos puede demostrar.

¿Por qué MCP cambia la posición del intercepto en la ecuación transformada?

Dividir por X transforma el término original de la pendiente β₁X en la constante β₁. Mientras tanto, el intercepto original se convierte en β₀/X. Seguir estas posiciones evita atribuir una interpretación económica incorrecta a una regresión transformada correcta.

¿Las primeras diferencias eliminan siempre la autocorrelación?

No. Pueden reducir la persistencia en algunos contextos e introducir dependencia en otros. Por lo tanto, vuelve a examinar los residuos transformados y justifica la especificación de la serie temporal.

¿Una variable rezagada puede servir como instrumento?

A veces, pero solo con un argumento válido de identificación. La relevancia por sí sola es insuficiente; el rezago también debe satisfacer las condiciones necesarias de ortogonalidad y exclusión. Sustituir directamente el regresor actual por su rezago estima otra regresión.

¿Los valores históricos son estadísticas económicas actuales?

No. Reproducen las tablas históricas de los ejercicios, incluidos el redondeo original y la versión de los datos. Para un análisis actual, obtén una serie apropiada y documenta sus definiciones, frecuencia, unidades y fecha de publicación.

Conclusión: diagnostica el supuesto antes de elegir la corrección

El diagnóstico de regresión resulta útil cuando conecta un síntoma visible con un supuesto estadístico específico. Estos 12 ejercicios muestran por qué un ajuste impresionante, coeficientes significativos y transformaciones conocidas no sustituyen ese razonamiento. En particular, la auditoría independiente demuestra cómo pequeñas comprobaciones numéricas pueden revelar diferencias conceptuales mucho mayores.

Empieza por los datos y la pregunta de investigación. Después, examina el diseño, estudia los residuos, elige una respuesta justificada e informa de la incertidumbre restante. Este proceso produce un análisis que los lectores pueden reproducir y evaluar, en lugar de una ecuación en la que simplemente deban confiar.

Fuentes y metodología

Fuente de los ejercicios: fotografías proporcionadas por el usuario del Capítulo 9, «Problems in Regression Analysis» [Problemas de análisis de regresión], ejercicios complementarios 9.16–9.27, incluidas las Tablas 9.16–9.20 y las páginas impresas 223–227. Las fotografías no establecen la identificación bibliográfica completa del libro; por eso, este artículo no inventa un autor, una edición ni una fecha de publicación.

Método de cálculo: cálculos independientes de mínimos cuadrados con las tablas numéricas visibles; los estadísticos t clásicos utilizan la varianza residual estimada mediante la suma de cuadrados de los residuos dividida por los grados de libertad residuales. Los valores p de las pruebas F utilizan la hipótesis alternativa unilateral declarada. Los gráficos presentan los mismos datos de los ejercicios, y todas las comparaciones distinguen las respuestas impresas de la convención explícita de recálculo.

Límites de interpretación: estos pequeños conjuntos didácticos ilustran métodos, sin establecer relaciones económicas actuales. El artículo no afirma que un instrumento sea válido únicamente porque sea posible calcular su coeficiente. Del mismo modo, la proximidad numérica a una referencia no demuestra consistencia ni identificación causal.

1. Penn State, STAT 462: Detección de multicolinealidad mediante factores de inflación de la varianza.
   https://online.stat.psu.edu/stat462/node/180/
2. NIST/SEMATECH e-Handbook: Regresión por mínimos cuadrados ponderados.
   https://itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section1/pmd143.htm
3. statsmodels: Prueba de Goldfeld–Quandt.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.het_goldfeldquandt.html
4. statsmodels: Estadístico de Durbin–Watson.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.stattools.durbin_watson.html
5. statsmodels: Prueba de Breusch–Godfrey.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.acorr_breusch_godfrey.html
6. Introduction to Econometrics with R: Regresión con variables instrumentales.
   https://www.econometrics-with-r.org/12-ivr.html
7. statsmodels: Resultados con covarianza robusta.
   https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.get_robustcov_results.html
8. Federal Reserve Bank of St. Louis: Documentación de los datos históricos de ALFRED.
   https://fred.stlouisfed.org/docs/api/fred/alfred.html